Примеры решения задач

1). Составить таблицу истинности для выражения:

Решение:

Расставим порядок действий:

1 -

2 -

3 -

4 -

5 -

_{6 -}

X	Y	Z				1	2	3	4	5	6
0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0	1
0	0	1	1	1	0	0	1	0	0	1	0
0	1	0	1	0	1	1	0	1	0	0	0
0	1	1	1	0	0	1	0	1	0	1	1
1	0	0	0	1	1	1	0	1	0	0	0
1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	1
1	1	0	0	0	1	0	1	0	1	1	0
1	1	1	0	0	0	0	1	0	1	1	0

2). Доказать эквивалентность выражений

X  (X  Z)  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z).

Составим таблицы истинности для левой и правой частей

X	Y	Z	X  Z	Y  Z	X  (X  Z)	X  (X  Z)  (Y  Z)
0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	1	1	0	0
0	1	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	0	0
1	0	0	1	0	0	0
1	0	1	1	1	1	1
1	1	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1

X	Y	Z	X  Y	X  Z	(X  Y)  (X  Z)
0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0
0	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	0
1	0	0	0	0	0
1	0	1	0	1	1
1	1	0	1	0	1
1	1	1	1	1	1

Т.к. значения функций одинаковы, то эквивалентность функций доказана.

3). Функции f(x, y) и g(x, y) заданы таблицами истинности:

x	y	f(x, y)	g(x, y)
0	0	1	0
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	0	1

Построить таблицу истинности для суперпозиции

h (x₁, x₂, x₃) = f(g(x₁, x₃), g(x₂, x₁)).

x1	x2	x3	g(x1, x3) = a	g(x2, x1) = b	h (x1, x2, x3) = f(a, b)
0	0	0	0	0	1
0	0	1	1	0	0
0	1	0	0	0	1
0	1	1	1	0	0
1	0	0	0	1	1
1	0	1	1	1	0
1	1	0	0	1	1
1	1	1	1	1	0

4). Упростить формулу:

f = x  x  y  y  z   x

a). Применим свойство идемпотентности: x  x = x, y  y = y:

f = x  y  z   x

b). Применим свойство коммутативности: x  y = y  x

f = x  x  y  z 

c). Применим свойство поглощения x  x  y = x:

f = x  z 

d). Применим свойства из п. 12: z  = 1; 1  x = x:

f = x

5). Построить СДНФ и СКНФ формулы

f (x, y, z) = x  (  ( )).

Построим таблицу истинности:

x	y	z					 (	x  (  ( ))
0	0	0	1	1	1	0	0	1
0	0	1	1	1	0	1	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0	0
0	1	1	0	0	1	0	0	0
1	0	0	1	1	1	0	0	0
1	0	1	1	1	0	1	1	1
1	1	0	0	1	1	0	0	1
1	1	1	0	1	0	1	0	0

Найдем СДНФ по таблице:

(0, 0, 0) -

(1, 0, 1) -

(1, 1, 0) -

СДНФ:  

Теперь преобразуем формулу:

f (x, y, z) = x  (  ( )):

a).

b). y  ( ) = y  () = y( )  =

= y( )  (zx  ) = y  zx 

c). Раскроем скобки и используем свойство идемпотентности:

y  zx  =

d). x  (  ( )) =

e). Применим закон де Моргана к инверсии во втором слагаемом, раскроем скобки и упростим, используя правило поглощения и идемпотентности:

f). Тогда получим:

g). Получили СДНФ: f (x, y, z) = .

Найдем СКНФ по таблице:

(0, 0, 1): ,

(0, 1, 0): ,

(0, 1, 1): ,

(1, 0, 0): ,

(1, 1, 1):

Тогда СКНФ:

f (x, y, z) = ( )( )( )( )( ).

Теперь преобразуем формулу f (x, y, z) = x  (  ( )):

a).

b).

c).

Избавимся от отрицания и применим правила поглощения и идемпотентности:

Получили СКНФ:

f (x, y, z) = ( )( )( )( )( ).

6). Построить полином Жегалкина функции f (x, y, z), заданной таблицей истинности:

x	y	z	f (x, y, z)
0	0	0	1
0	0	1	1
0	1	0	0
0	1	1	0
1	0	0	1
1	0	1	0
1	1	0	0
1	1	1	0

Первый способ:

a). Построим СДНФ:

b). Заменим  на :

c). Упростим, используя операцию дистрибутивности и тождество x=1:

d). Заменим = x  1:

e). Заменим x  x = 0, x  0 = x

Второй способ:

a). В пятом столбце строится треугольник Паскаля:

- первая строка заполняется самой функцией

- значения второй строки получаются суммой  двух элементов первой строки:

1  1 = 0, 1  0 = 1, 0  0 = 0, 0  1 = 1, 1  0 = 1, 0  0 = 0, 0  0 = 0,

- так же заполняем все остальные строки.

x	y	z	f (x, y, z)	Треугольник Паскаля	Слагаемые
0	0	0	1	1 1 0 0 1 0 0 0	1
0	0	1	1	0 1 0 1 1 0 0	z
0	1	0	0	1 1 1 0 1 0	y
0	1	1	0	0 0 1 1 1	yz
1	0	0	1	0 1 0 0	x
1	0	1	0	1 1 0	xz
1	1	0	0	01	xy
1	1	1	0	1	xyz

b). Заполним последнюю колонку конъюнкциями элементов, которые в первых трех столбцах равны 1.

c). Соединим знаком  те конъюнкции, строки которых с левой стороны треугольника равны 1:

3-Треттий способ:

a). Построим многочлен Жегалкина для функции трех переменных:

f(x, y, z) = a₀  a₁x  a₂y  a₃z  a₄xy  a₅xz  a₆yz  a₇xyz

и систему уравнений, позволяющих найти коэффициенты:

f(0, 0, 0) = a₀

f(0, 0, 1) = a₀  a₃

f(0, 1, 0) = a₀  a₂

f(0, 1, 1) = a₀  a₂  a₃  a₆

f(1, 0, 0) = a₀  a₁

f(1, 0, 1) = a₀  a₁  a₃  a₅

f(1, 1, 0) = a₀  a₁  a₂  a₄

f(1, 1, 1) = a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇

b). Приравняем к значениям функции и вычислим коэффициенты:

a₀ = 1,

a₀  a₃ = 1, 1  a₃ = 1, a₃ = 0,

a₀  a₂ = 0, 1  a₂ = 0, a₂ = 1,

a₀  a₂  a₃  a₆ = 0, 1  1  0  a₆ = 0, a₆ = 0,

a₀  a₁ = 1, 1  a₁ = 1, a₁ = 0,

a₀  a₁  a₃  a₅ = 0, 1  0  0  a₅ = 0, a₅ = 1,

a₀  a₁  a₂  a₄ = 0, 1  0  1  a₄ = 0, a₄ = 0,

a₀  a₁  a₂  a₃  a₄  a₅  a₆  a₇ = 0,

1  0  1  0  0  1  0  a₇ = 0, a₇ = 1.

c). Выпишем коэффициенты и подставим их в функцию:

a₀ = 1, a₁ = 0, a₂ = 1, a₃ = 0, a₄ = 0, a₅ = 1, a₆ = 0, a₇ = 1.