1.2. Свойства логических операций

Алгебра логики позволяет легко преобразовывать логические выражения с помощью свойств логических операций:

- Идемпотентность дизъюнкции и конъюнкции (идемпотентность означает свойство чего-либо (объекта), которое проявляется в том, что повторное действие над объектом не изменяет его)

X  X  X,

X  X  X.

- Коммутативность дизъюнкции и конъюнкции

X  Y  Y  X,

X  Y  Y  X.

- Ассоциативность дизъюнкции и конъюнкции

X  (Y  Z)  (X  Y)  Z,

X  (Y  Z)  (X  Y)  Z.

- Дистрибутивность операций дизъюнкции и конъюнкции относительно друг друга

X  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z),

X  (Y  Z)  (X  Y)  (X  Z).

- Двойное отрицание

- Закон де Мо́ргана

,

_.

- Склеивание

(X  Y)  (X  )  X,

(X  Y)  (X  )  X.

- Поглощение

X  (X  Y)  X,

X  (X  Y)  X.

- Действие с логическими константами 0 и 1

X  0  X,

X  0  0,

X  1  1,

X  1  X,

X   0.

- Закон исключения третьего

X   1.

1.3. Функции алгебры логики и их свойства

Логической (булевой) функцией (или просто функцией) n переменных y = f(x₁, x₂, …, x_n) называется такая функция, у которой все переменные и сама функция могут принимать только два значения: 0 и 1.

Булевы функции одной и двух переменных называют элементарными. Рассмотрим значения таких функции с помощью таблиц истинности.

- Функция одной переменной

x	f1(x)	f2(x)	f3(x)	f4(x)
0	0	1	0	1
1	0	0	1	1

1). Функции f₁(x) и f₄(x) при любых значениях x равны соответственно 0 и 1, и называются константами.

2). Функция f₃(x) совпадает с переменной x и называется тождественной:

f₃(x) = x.

3). Функция f₂(x) принимает значения, противоположные значениям переменной x и называется отрицанием:

f₂(x) =

- Функция двух переменных

x	y	f1	f2	f3	f4	f5	f6	f7	f8	f9	f10	f11	f12	f13	f14	f15	f16
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1	1	1	1	1	1	1	1
0	1	0	0	0	0	1	1	1	1	0	0	0	0	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1	0	0	1	1
1	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1	0	1

1). Функции f₁ и f₁₆ являются константами 0 и 1 соответственно.

2). Функции f₄, f₆, f₁₁, f₁₃ существенно зависят только от одной переменной:

f₄ = x f₆ = y f₁₁ = f₁₃ =

3). Функция f₂ = x  y – конъюнкция.

4). Функция f₈ = x  y – дизъюнкция.

5). Функция f₁₀ = x  y – эквивалентность.

6). Функция f₇ = x  y – сумма по модулю два.

7). Функция f₁₄ = x  y – импликация.

8). Функция f₁₂ = y  x – конверсия.

9). Функция f₁₅ = x  y – штрих Шеффера.

10). Функция f₉ = x  y – стрелка Пирса.

11). Функции f₃ и f₅ – логически несовместимы с операциями конверсии и импликации и называются функциями запрета.

Булеву функцию любого числа переменных можно задать формулой, содержащей функции одной или двух переменных посредством подстановки одних булевых функций вместо переменных в другие булевы функции, т.е. посредством суперпозиции булевых функций.

Для булевых функций справедливы равенства, аналогичные формулам, сформулированным для высказываний. Кроме того, для функций конъюнкция, дизъюнкция и сумма по модулю два справедливы следующие тождества:

x  x = x  x = 0 x  0 = 0 x  1 = x

x  x = x  x = 1 x  0 = x x  1 = 1

x  x = 0 x  = 1 x  0 = x x  1 =

Для конъюнкции и дизъюнкции справедливы тождества:

x₁   x₂ = x₁  x₂;

x₁  ( ₂  x₁) = x₁  x₂.