1. Элементы математической логики
1.1. Логические связки и их таблицы истинности
Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.
Основным понятием алгебры логики является высказывание. Высказывание (пропозиция) – это предложение, относительно которого имеет смысл говорить истинно оно или ложно. Высказыванием является утвердительное повествовательное предложение, которое формализует некоторое выражение мысли. Высказывание обычно имеет только одно логическое значение. Так, например, предложение "6 – четное число" следует считать высказыванием, так как оно истинное. Предложение "Рим — столица Франции" тоже высказывание, так как оно ложное.
Пусть X — высказывание. Если оно истинно, то пишут | X | = 1, если ложно, то | X | = 0.
Из простых высказываний различными способами может быть составлено новое высказывание, называемое составным, в то время как те высказывания, из которых оно состоит, называются простыми составляющими или компонентами.
Значение истинности сложного высказывания определяется истинностью его компонент. Зависимость истинности составного высказывания от значения истинности его компонент очень удобно изображать с помощью таблиц истинности, которые называются также интерпретациями логических операций.
Каждой строке таблицы истинности взаимно однозначно соответствует набор составляющих высказываний и соответствующее значение составного высказывания. Наборы из нулей и единиц в таблице истинности имеют стандартное расположение (в порядке возрастания):
X |
Y |
X Y |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
Существует несколько логических операций, с помощью которых из простых высказываний можно получить составные.
Отрицание
- высказывание, которое истинно, когда
X ложно, и ложно, когда
X истинно.
Конъюнкция X Y – высказывание, которое истинно только в том случае, когда X и Y оба истинны.
Дизъюнкция X Y – высказывание, которое истинно, если хотя бы одно из них истинно.
Импликация X Y – высказывание, которое ложно тогда и только тогда, если X истинно, а Y – ложно.
Эквивалентность X Y – высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда X и Y оба истинны или оба ложны.
Штрих
Шеффера (антиконъюнкция):
.
Стрелка
Пирса (антидизъюнкция):
.
Сумма
по модулю два (антиэквивалентность):
.
X |
Y |
|
X Y |
X Y |
X Y |
X Y |
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
