Примеры решения задач

1) Выяснить, является ли код однозначно декодируемым?

С(S) = {b₁, b₁b₂, b₃b₁}

Решение

Код S не является префиксным, кроме того и код S^-1 = {b₁, b₂b₁, b₁b₃} не является префиксным. Однако по коду можно однозначно восстановить исходное слово. Алгоритм следующий:

a). В кодовом слове находим все буквы b₂ и выделяем пары b₁b₂,

b). В кодовом слове находим все буквы b₃ и выделяем пары b₃b₁,

c). Заменяют найденные пары символами исходного алфавита, и определяются оставшиеся буквы b₁.

2) Алфавитное кодирование задано схемой S в виде таблицы

Таблица 5.2

a1	a2	a3	a4	a5
b1b2	b1b3b2	b2 b3	b1b2 b1b3	b2 b1b2 b2 b3

C помощью общего критерия взаимной однозначности определить, является ли схема однозначной.

Решение

a) Для каждого элементарного кода выписываем все нетривиальные разложения:

b₁ = (b₁)(b₂)

b₂ = (b₁)(b₃b₂) = (b₁b₃)(b₂)

b₃ = (b₂)(b₃)

b₄ = (b₁)(b₂ b₁b₃) = (b₁b₂)(b₁b₃) = (b₁b₂ b₁)( b₃)

b₅ = (b₂)(b₁b₂ b₂ b₃) = (b₂ b₁)(b₂ b₂ b₃) = (b₂ b₁b₂)(b₂ b₃) = (b₂ b₁b₂ b₂)(b₃)

b) Выписываем множество M₁, состоящее из слов b', являющихся началом нетривиальных разложений.

М₁ = {b₁, b₁b₃, b₂, b₁b₂, b₁b₂ b₁, b₂ b₁, b₂ b₁b₂, b₂ b₁b₂ b₂}

c) Выписываем множество M₁, состоящее из слов b", являющихся окончаниями нетривиальных разложений

M₂ = {b₂, b₃b₂, b₃, b₂ b₁b₃, b₁b₃, b₁b₂ b₂ b₃, b₂ b₂ b₃, b₂ b₃}

d) Выписываем множество М = М₁ Ç М₂ È {Ù}, т.е. множество слов, являющихся как началом, так и окончанием нетривиального разложения и пробел.

M = {b₂, b₁b₃, Ù}

e) Выписываем все разложения, связанные с множеством M, т.е.

b = b'b₁b₂… b_inb", где b', b" Î М, причем n может быть равно 0 (заменяется Ù).

b₂ = (b₁b₃)Ù(b₂)

b₄ (b₁b₂)(b₁b₃) = Ù b₁ b₁b₃

b₅ = (b₂)(b₁b₂)(b₂ b₃) =(b₂) b₁b₃Ù

f) По полученным разложениям строится ориентированный граф, следующим образом: вершины графа отождествляются с элементами множества М, пара вершин b' и b" соединяются ребрами только в том случае, если существует разложение b'b₁b₂… b_inb", ребру приписывается значение b₁b₂… b_in.

Рис. 5.1

g) По полученному графу легко проверить, обладает ли схема кодирования однозначностью. Т.к. в графе есть цикл, проходящий через Ù. то взаимно-однозначного кодирования нет.

h) Найдем слово. декодируемое неоднозначно: начнем выписывать последовательно слова. присвоенные ребрам и вершинам. начиная с пробела и заканчивая пробелом:

b₁b₂ b₁b₃ b₂ b₁b₂ b₂b₃

b1 = (b₁b₂)(b₁b₃b₂)(b₁b₂)(b₂b₃) ® a1 = a₁a₂a₁a₃

b2 = (b₁b₂b₁b₃)(b₂b₁b₂b₂b₃) ® a2 = a₄a₅

3) Пусть задано сообщение a = 1011011 = a₁a₂a₃a₄a₅a₆a₇. Для этого сообщения необходимо построить код Хемминга.

Решение

a). Определим длину кода Хемминга:

m = 7, 2^k >= k + 10, k = 4, l = 11.

b). Представим каждое число i из множества L = {1, 2, … l} в виде k-разрядного числа t = V_k-1V_k-2..V₀ . Результат запишем в виде таблицы 5.3.

с). Разобьем множество L на подмножества следующим образом:

L₀ = {1, 3, 5, 7, 9, 11}

L₁ = {2, 3, 6, 7, 10, 11}

L₂ = {4, 5, 6, 7}

L₃ = {8, 9, 10, 11}

Таблица 5.3

	V 3	V 2	V 1	V 0
1	0	0	0	1
2	0	0	1	0
3	0	0	1	1
4	0	1	0	0
5	0	1	0	1
6	0	1	1	0
7	0	1	1	1
8	1	0	0	0
9	1	0	0	1
10	1	0	1	0
11	1	0	1	1

d). Первые элементы (их ровно k) являются степенью числа 2, они определяют номера контрольных разрядов кода Хемминга:

b₁ b₂ b₄ b₈

e). Остальные разряды являются информационными, заполняются исходного сообщения по порядку:

b₃ = 1, b₅ = 0, b₆ = 1, b₇ = 1, b₉ = 0, b₁₀ = 1, b₁₁ = 1.

f). Контрольные разряды заполняются следующим образом:

b₁ = b₃ Å b₅ Å b₇ Å b₉ Å b₁₁ = 1 Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 = 1,

b₂ = b₃ Å b₆ Å b₇ Å b₁₀ Å b₁₁ = 1 Å 1 Å 1 Å 1 Å 1 = 1,

b₄ = b₅ Å b₆ Å b₇ = 0 Å 1 Å 1 = 0,

b₈ = b₉ Å b₁₀ Å b₁₁ = 0 Å 1 Å 1 = 0.

Окончательное решение для слова a = 1011011: b = 11100110011.

4) Пусть вместо кода b = 11100110011, на приемник пришло слово b¢ = 10100110011. Найти, в каком разряде произошла ошибка, и исправить ее.

Решение

Найдем числа V¢:

V¢₀ = b₁ Å b₃ Å b₅ Å b₇ Å b₉ Å b₁₁ Å b₁₃ = 1 Å 1 Å 0 Å 1 Å 0 Å 1 = 0,

V¢₁ = b₂ Å b₃ Å b₆ Å b₇ Å b₁₀ Å b₁₁ = 0 Å 1 Å 1 Å 1 Å 1 Å 1 = 1,

V¢₂ = b₄ Å b₅ Å b₆ Å b₇ = 0 Å 0 Å 1 Å 1 = 0,

V¢₃ = b₈ Å b₉ Å b₁₀ Å b₁₁ =0 Å 0 Å 1 Å 1 = 0.

t = 0100, следовательно ошибка произошла в разряде 2, исправим символ в этом разряде на противоположный.

Исходный код b = 11100110011.