Вопросы для самоконтроля и повторения

1. Что такое размещение? Как оно вычисляется?

2. Что такое перестановка? Как она вычисляется?

3. Что такое сочетание? Как оно вычисляется?

4. Что такое композиция? Как она вычисляется?

5. Что такое разбиение? Как оно вычисляется?

8. Что такое бином Ньютона и как его получают?

9. Назовите свойства биноминальных коэффициентов.

4. Элементы теории графов

4.1. Основные понятия теории графов

Теория графов – раздел дискретной математики, изучающий свойства графов. Теория графов находит применение, например, в геоинформационных системах (ГИС). Существующие или вновь проектируемые дома, сооружения, кварталы и т. п. рассматриваются как вершины, а соединяющие их дороги, инженерные сети, линии электропередачи и т. п. — как рёбра. Применение различных вычислений, производимых на таком графе, позволяет, например, найти кратчайший объездной путь или ближайший продуктовый магазин, спланировать оптимальный маршрут. Теория графов содержит большое количество нерешённых проблем и пока не доказанных гипотез.

Родоначальником теории графов считается Леонард Эйлер. В 1736 году в одном из своих писем он формулирует и предлагает решение задачи о семи кёнигсбергских мостах, ставшей впоследствии одной из классических задач теории графов.

Граф G определяется множеством вершин V(G), множеством ребер Е(G) и отношением инцидентности, которое каждому ребру сопоставляет одну или две вершины, называемые его концами.

Ребро называется звеном, если у него два конца, и петлей, если конец один. Говорят, что концы ребра соединены данным ребром или являются смежными. Аналогично будем говорить, что вершина соединена или смежная сама с собой в том и только в том случае, если она инцидентна некоторой петле. Два или более звеньев, имеющие одинаковые пары концов, образуют кратное соединение и называются кратными ребрами. Граф без петель и кратных ребер называется простым.

Наиболее привычным представлением графа является его геометрическое изображение на бумаге (в виде так называемой диаграммы). Вершины на диаграмме изображаются точками. Звено с концами х и у изображается отрезком прямой (или дугой кривой), соединяющим точки, изображающие концы x и у, причем ни одна из других точек-вершин не должна принадлежать этому отрезку. Петля с концом х изображается как дуга кривой, начинающаяся и заканчивающаяся в точке х и не проходящая ни через одну из других точек-вершин.

Для некоторых целей полезно ввести в рассмотрение нуль-граф (или пустой граф), который не имеет ни ребер, ни вершин. Граф-вершина содержит только одну вершину и не имеет ребер. Граф-петля состоит из единственной петли и ее одного конца, а граф-звено состоит из единственного звена и двух его концов (рис. 4.1)

Рис. 4.1

n-цепью называется граф с n ребрами и п + 1 вершинами, об­ладающий следующим свойством: его ребрам можно приписать номера от 1 до п. а вершинам — от 0 до п таким образом, чтобы концами ребра E_j были вершины v_j-1 и v_j.

Рис. 4.2

п-циклом называется граф с п вершинами и n ребрами, обладающий следующим свойством: его вершинам и ребрам можно приписать номера от 1 до n таким образом, чтобы концами ребра E_j были вершины v_j и v_j+1.

Рис. 4.3

Граф называется ориентированным, если пара вершин x и y, соответствующая каждому ребру, упорядочена. В таком случае говорят, что ребро ориентировано из вершины x в вершину y, а направление обозначается стрелкой на ребре. Связный граф — граф, содержащий ровно одну компоненту связности. Это означает, что между любой парой вершин этого графа существует по крайней мере один путь.

Рис. 4.4 - Пример графа, a₁ – a₁₀ – ребра графа, x₁ – x₆ – вершины графа, a₃ – петля.

Планарный граф — граф, который может быть изображен на плоскости без пересечения ребер.