Примеры решения задач

1). Пусть V = {a, b, c}. Объем выборки m = 2. Перечислить перестановки, размещения, сочетания, размещения с повторениями, сочетания с повторениями.

Перестановки: {abc, bac, bca, acb, cab, cba}. P₃ = 3! = 6.

Размещения: {(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca)}.

Сочетания: {(ab), (ac), (bc)}.

Размещения с повторениями:

{(ab), (bc), (ac), (ba), (cb), (ca), (aa), (bb), (cc)}. (3)= 32 = 9.

Сочетания с повторениями: {(ab), (bc), (ca), (aa), (bb), (cc)}.

2). Сколько существует способов, чтобы расположить на полке 7 различных книг?

Выбираем первый элемент, это можно сделать n способами. Затем выбираем второй элемент, это можно сделать (n  1) способами. По правилу произведения упорядоченный выбор двух элементов можно осуществить n(n  1) способами. Затем выбираем третий элемент, для его выбора останется n  2 возможности, последний элемент можно выбрать единственным способом. Мы вновь приходим к формуле: n(n  1)(n  r) ... 1 = n!

Ответ: 7!

3). Из группы из 10 человек необходимо выбрать троих. Сколькими способами можно это сделать?

Имеем = 10 9 8 = 720.

4) Группа из 15 человек выиграла 3 одинаковых книги. Сколькими способами можно распределить эти книги?

5) Кодовый замок состоит из трех разрядов, в каждом разряде независимо от других могут быть выбраны цифры от 0 до 9. Сколько возможных комбинаций?

(n) = n^m.

Здесь n = 10, m = 3 и ответом будет 10³.

6) Решите уравнение:

Распишем отдельно

Подставим в уравнение:

.

Сократим (x+1) и получим:

,

Решая квадратное уравнение, учтем, что x должно быть целое и положительное. Получим x = 1.

Упражнения

1) Вычислите:

1.1 ;

1.2 ;

1.3 ;

1.4 ;

1.5 ;

1.6

2) Вычислите:

2.1 ;

2.2 ;

2.3 ;

2.4 ;

2.5 ;

2.6

3) Для того чтобы открыть камеру хранения, используется комбинация из 4 цифр (от 0 до 9), набираемая на 4 колесиках. Сколько различных комбинаций существует?

4) Сколько в n-ичной системе счисления натуральных чисел, записываемых ровно k знаками?

5) В первенстве России по футболу участвуют 17 команд. Разыгрываются золотые, серебряные и бронзовые медали. Сколькими способами они могут быть распределены?

6) Автомобильные номера некоторой страны состоят из 3 букв (все буквы различны) и четырех цифр (цифры могут повторяться). Сколько максимально машин может быть в этой стране, если в её алфавите 26 букв?

7) Двое ребят собрали 10 ромашек, 15 васильков и 14 незабудок. Сколькими способами они могут разделить эти цветы?

8) При игре в домино 4 игрока делят поровну 28 костей. Сколькими способами они могут это сделать?

9) Трое ребят собрали с яблони 40 яблок. Сколькими способами они могут их разделить, если все яблоки считаются одинаковыми (то есть нас интересует, сколько яблок получит каждый, а не какие именно)?

10) Сколькими способами можно послать по почте 8 различных фотографий, использовав 5 конвертов?

11) Имеются 6 различных сигнальных флагов и 3 мачты, на которые их вывешивают. Значение сигнала зависит от того, в каком порядке вывешены флаги. Сколькими способами можно развесить флаги, если не все флаги могут быть использованы и некоторые из мачт могут оказаться пустыми?

12) Сколькими различными способами можно разделить 8 книг на 4 бандероли по 2 книги в каждой?

13) Решите уравнение:

13.1 ;

13.2 ;

13.3 ;

13.4 ;

13.5 ;

13.6

14) Решите систему уравнений:

14.1 ;

14.2 ;

14.3 ;

14.4 ;

14.5 ;

14.6

15) Найдите:

15.1 Пятый член разложения ;

15.2 Средний член разложения ;

15.3 Два средних члена разложения ;

15.4 Член разложения, не содержащий a: ;

15.5 Член разложения, не содержащий x: ;

15.6 Член разложения, не содержащий z: