Пример. .

При вычислении пределов необходимо уметь раскрывать (решать) неопределенности.

Определение. Выражения вида , , , , принято называть неопределенностями и обозначать, заключая в квадратные скобки: , , , , .

Далее на примерах рассматриваются приемы раскрытия основных типов неопределенностей.

При отыскании предела отношения двух целых многочленов отно­сительно х при полезно предварительно разделить оба члена отношения на хⁿ, где п - наивысшая степень этих многочленов.

Пример.

Пример.

.

Пример.

.

Пример.

Аналогичный прием во многих случаях можно применять и для дробей, содержащих иррациональности.

Пример.

Если P(x) и Q(x) – многочлены и P(a)=Q(a)=0, то при отыскании предела рекомендуется разделить один или несколько раз числитель и знаменатель на (x-a).

Пример.

Выражения, содержащие иррациональности, во многих случаях приводятся к рациональному виду путем введения новой переменной.

Пример. Найти

Введем новую переменную

Тогда

Другим приемом нахождения предела от иррационального выражения является перевод иррациональности из числителя в знаменатель или, наоборот, из знаменателя в числитель.

Пример. Найти

Умножим числитель и знаменатель на выражение , сопряженное с числителем.

Первый замечательный предел удобно представить в виде , где – функция независимой переменной x и - при .

Первый замечательный предел может быть использован для раскрытия неопределенностей вида

Пример. Найти предел

Учитывая формулу , находим:

Пример. Найти предел

Введем новую переменную z: z=arcsin2x. Тогда sinz=2x, и

Второй замечательный предел запишем в виде , если при ; или , если при . Здесь – функция независимой переменной x. Полезно также помнить пределы , , где .

Второй замечательный предел может быть использован для раскрытия неопределенности .

Пример.

Используем известный прием деления «уголком» многочлена x+5 на многочлен x-1.

Значит, .

Пример. Найти

Учитывая свойства логарифмов, находим

Замечание. Если существует и положителен то

Полезно также помнить и другие замечательные пределы.

Пример.

Введя замену переменной y=cos²x, находим:

Пример.

Определение.

Функция называется бесконечно малой при , если

Пусть и являются бесконечно малыми функциями при . Если при этом их отношение стремится к единице , то бесконечно малые и называют эквивалентными малыми и пишут ~ ( ).

Примеры эквивалентных бесконечно малых функций при :

m=const.

При отыскании предела отношения двух бесконечно малых функций каждую из них можно заменить эквивалентной бесконечно малой функцией.

Пример.

Пример.

3.2. Дифференциальное исчисление функции

одной переменной

Определение. Предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении к нулю называется производной функции y=f(x) в точке x и обозначается одним из следующих символов: y’, f’(x), .

Если указанный в формуле (1) предел существует, то функцию f(x) называют дифференцируемой в точке x, а операцию нахождения производной y’ – дифференцированием.

Пример. Найти производную функции , воспользовавшись определением производной.

Решение. При любом приращении х имеем:

Так как , то

Справедливы следующие правила дифференцирования, где С –постоянное число, U(x) и V(x) –некоторые дифференцируемые функции.

1. (C)’=0;

2. (x)’=1;

3. (U V)=U’ V’;

4. (CU)’=CU’;

5. (UV)’=U’V+UV’;

6. ;

7. .

8. Если , т.е. – сложная функция, составленная из дифференцируемых функций, то

или ;

9. Если для функции существует обратная дифференцируемая функция, и , то .

На основании определения производной и правил дифференцирования можно составить таблицу производных основных элементарных функций:

1. ; 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

9. 10.

11. 12.

13. 14.

15. 16.

17.

Примеры.

а)

б)

Если зависимость между переменными y и x задана в неявном виде f(x,y)=0, то для нахождения производной в простейших случаях достаточно продифференцировать обе части уравнения f(x,y)=0, y, считая функцией от x, и из полученного уравнения, линейного относительно , найти производную.

Логарифмической производной функции y=f(x) называется производная от логарифма этой функции, т.е.

Последовательное применение логарифмирования и дифференцирования функций называют логарифмическим дифференцированием.

Пример. Найти производную функцию , если

Решение. Дифференцируем обе части данного уравнения, считая y функцией от x:

Пример. Найти производную функции

Решение. Логарифмируя данную функцию, получаем

Дифференцируя обе части последнего равенства по x,

отсюда

Производной второго порядка или второй производной функции y=f(x) называется производная от ее первой производной, т.е. .

Обозначается вторая производная одним из следующих символов:

Производной n–го порядка функции y=f(x) называется производная от производной (n–1)–го порядка данной функции.

Если зависимость функции y от аргумента x задана в параметрическом виде уравнениями x=x(t), y=y(t), то: где штрих обозначает производную по t.

Пример. Найти производную второго порядка функции

Решение.

Пример. Найти производную функции, заданной параметрическими уравнениями: x=lnt,

Решение.

Геометрически производная функции f(x) в т. x₀ равна тангенсу угла наклона касательной, проведенной к графику функции в точке с абсциссой x₀ с положительным направлением оси Оx.

.

Так как называется угловым коэффициентом касательной, то можно записать , т.е. Тогда уравнение касательной, как уравнение прямой, проходящей через т. с угловым коэффициентом , может быть записано в виде .

Пример. Составить уравнение касательной к гиперболе в т.  .

Решение. Здесь , Подставим найденные значения в уравнение касательной .

Уравнение нормали (перпендикуляра) к кривой в точке имеет вид (если , уравнение нормали имеет вид ).

Пример. Записать уравнение нормали к кривой в т. с абсциссой x=1.

Решение.

Тогда

Рассмотрим применение производной к вычислению некоторых пределов.

Правило Лопиталя.

Пусть функции и непрерывны и дифференцируемы на некотором отрезке и обращаются в нуль в т. , т.е. , тогда, если существует предел отношения при , то существует и , причем .

Пример.

При необходимости это правило может быть применено многократно.

Пример.

Правило Лопиталя применимо и для раскрытия неопределенностей вида

Пример.

Пусть тело движется по прямой по закону . За промежуток времени (от момента до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда отношение есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к нулю:

Следовательно, производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени :

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Рассмотрим произвольную функцию . Дадим прира­щение , тогда приращение функции равно Отношение - называется средней скоростью изменения этой функции на отрезке .

Скоростью изменения функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда приращение аргумента стремится к нулю:

Итак, скорость изменения функции в точке равна производной функции в этой точке.

Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути по времени равна ускорению движения тела в данный момент времени :

Таким образом, первая производная характеризует скорость некото­рого процесса, а вторая - ускорение того же процесса.

Пусть функция непрерывна при рассматриваемых значе­ниях и имеет производную

Из этого следует, что , где - бесконечно малая величина при . Отсюда находим, что

Дифференциалом функции называется главная часть ее приращения, линейная относительно приращения независимой пе­ременной.

I. Дифференциал функции обозначается .

Итак,

Положив , получим , и поэтому

При достаточно малом приращение функции приближенно равно ее дифференциалу,

Таким образом,

Эта формула позволяет использовать дифференциал функции для приближенных вычислений значений функций.