2. Метод сканирования при неограниченном периоде времени

В этой секции мы рассматриваем только регулярные (постоянные) интервалы сканирования. Такой принцип сканирования, например, при­меняется при измерении нагрузки, платном вызове, числовом моделирова­нии и управлении процессором. С помощью этого метода сканирования мы наблюдаем дискретное распределение времени для времени пребывания в системе, которое в реальном случае обычно является непрерывным.

Практически мы обычно выбираем постоянное расстояние h между моментами сканирования и находим следующее отношение между наблю­даемым в данный момент временным интервалом и интервалом в режиме реального времени (рис. 15.3):

Время наблюдения	Реальное время
Oh	Oh- lh
1 h	Oh —2h
2 h	1 h - 3h
3 h	2 h — 4h

Номер момента наблюдения

₅

4

3 ,

о ---

0 1 2 3 4 5 6 Интервалы реального времени

Рисунок 15.3. С помощью сканирования непрерывный временной интервал преобразован в дискретный временной интервал. Преобразование не однозначное (см. секция 15.4)

Заметим, что имеется перекрытие между непрерывными временны­ми интервалами, так что дискретное распределение не может быть полу­чено простым интегрированием непрерывного временного интервала по фиксированному интервалу длины h. Если реальные времена пребывания в системе имеют функцию распределения F(t), то можно показать, что наблюдается следующее дискретное распределение (Iversen, 1976 [36]):

о

р(к) = ^ j{F(f + kh)~F(t + (к- 1)А)} dt, k = 1,2,.... О⁵-¹¹)

о

Интерпретация. Предполагается, что время прибытия вызова не зависит от процесса сканирования. Поэтому плотность распределения временного интервала с момента прибытия вызова до первого момента ска­нирования однородно распределена и равна (1/Л) (секция 6.3.3). Моменты сканирования, при которых вероятность существования пребывания вызо­ва в системе равна нулю, обозначены р(0) и равны вероятности, с которой вызов заканчивается перед следующим периодом сканирования.

Поскольку при фиксированном значении времени пребывания в системе t эта вероятность равна F(t) = h, для того, чтобы получить полную вероятность, мы интегрируем по всем возможным значениям /(0 < t <h) и получаем (15.10). Подобным же способом мы получаемр{к) (15.11). Можно показать, что, интегрируя по частям, для любой функции распределения F(?) мы всегда получим правильную среднюю величину наблюдения:

p(k) = ^ j{F(t + kh) -F(t + (k- l)h)} dt, к =1,2,.... (15.12)

0

При использовании оплаты по методу Карлссона мы будем, поэтому, всегда иметь правильную сумму только при плате за достаточно длитель­ный период.

Для экспоненциальных распределенных интервалов времени пребы­вания в системе F(t)= 1 - е ^' мы будем наблюдать дискретное распреде­ление — распределение Вестерберга (Iversen, 1976 [36]):

(15.13)

(15.14)

Можно показать, что это распределение имеет следующую среднюю величину и коэффициент формы:

1

fih ’

(15.15)

(15.16)

Коэффициент формы е равен единица плюс квадрат относительной точности измерения. Для непрерывного измерения коэффициент формы равен 2. Вклад (е-2) появляется из-за влияния принципа измерения. Коэффициент формы — мера точности измерения.

Рис. 15.4 показывает, как коэффициент формы наблюдаемого вре­мени пребывания в системе для экспоненциально распределенных вре­мен зависит от длины интервала сканирования (15.16). Непрерывными измерениями мы получаем обычную выборку. Методом сканирования получаем выборку так, что имеется неопределенность выборки из-за метода измерения и из-за ограниченного размера выборки. Рис. 5.2 — это пример распределения Вестерберга — особого нулевого класса, который отклоняется оттого, что мы имеем при непрерывном экспоненциальном распределении. Если вставить коэффициент формы в выражение для c²_s (15.9), то, выбирая среднее время пребывания в системе как единицу вре­мени m_i , = Уц = 1, получим следующие оценки интенсивности нагрузки при использовании метода сканирования:

mi; = А,

(15.17)

При непрерывном методе измерения дисперсия - 2А/Т, если /г —> 0.

Рис. 15.5 показывает относительную точность измеренного объема нагрузок для непрерывного измерения (15.8) и (15.9) и для метода скани­рования (15.17). Формула (15.17) была получена (Palm,, 1941 [78]), но стала известной, только когда была вновь открыта W.S. Hayward Jr. (1952 [33]).

Пример 15.4.1: Принципы составления счетов для оплаты

Для оплаты разговоров применяются различные принципы подсчета (составления счетов). Кроме того, цена услуг обычно изменяется в тече­ние 24 часов, чтобы влиять на поведение абонентов. Среди принципов мы можем упомянуть следующие.

(а) Фиксированная цена за вызов, при этом подсчитывается общее количество вызовов. Этот принцип часто применяется в ручных системах для внутригородских вызовов (плоская цена).

(б) Принцип оплаты Карлссона. Он соответствует принципу измерения, с которым мы имели дело в этой секции. В нем время пребывания в системе определяется относительно регулярных импульсов оплаты. Этот принцип был применен в Дании в координатных станциях.

(в) Усовершенствованный принцип оплаты Карлссона. Мы можем, например, прибавить к счету дополнительный импульс в начале вызова. В цифровых системах в Дании есть фиксированная оплата вызова в дополнение к оплате, пропорциональной продолжитель­ности вызова.

(г) Начало времени пребывания в системе синхронизировано со скани­рующим процессом. Этот способ применялся, например, оператора­ми ручной связи и в телефонах-автоматах.