2. Теория дискретизации

Предположим, что мы имеем выборку п независимых и равномер­но распределенных (IID — Independent and Identically Distributed) величин наблюдения {Х_{, Х₂, ...,Х_п} случайной переменной с неизвестной конеч­ной средней величиной т_{ и конечной дисперсией а² (статистические параметры).

Средняя величина и дисперсия выборки определены следующим образом:

п

(15.1)

(15.2)

X и s² — функции случайной переменной и поэтому также случай­ные переменные, определенные распределением, которое мы называем распределением выборки. X является центральной оценкой неизвестной средней величины совокупности m_v то есть:

(15.3)

Е{Х} = mi

Кроме того, s²/n — центральная оценка неизвестной дисперсии средней величины выборки X, то есть:

(15.4)

а²{Х} =s²/n.

Мы отображаем точность оценки типового параметра посредством доверительного интервала, который с данной вероятностью определя­ет, как оценка соотносится с неизвестным теоретическим значением. В нашем случае доверительный интервал средней величины равен:

(15.5)

где t_{n X 2} — верхний квантиль (1-а/2) t-распределения Стьюдента’ с п-1 степени свободы. Вероятность, с которой доверительный интервал включает неизвестную теоретическую среднюю величину, равна (1 - а) и называется доверительным уровнем. Некоторые значения t-распределения Стьюдента даются в таблице 15.1. Когда п становится большим, тогда t-распределение Стьюдента сходится к нормальному распределению, и мы можем использовать квантиль этого распределения. Предположение о независимости выполняется для измерений, взятых в различные дни, но, например, не для последовательных измерений методом сканирова­ния в пределах ограниченного временного интервала, потому что число занятых каналов в данный момент будет коррелировать с числом занятых каналов в предыдущем и следующем сканировании.

В следующей секции мы вычисляем среднюю величину и дисперсию при измерении нагрузки в течение, например, одного часа. Это суммарное значение в течение данного дня может использоваться как единственное наблюдение в приведенной выше формуле, где мы имеем измерение с числом наблюдений, равным числу дней.

• Это распределение получило название от псевдонима Student, которым подписывался английский ученый Вильям Госсет (1867-1937) - один из пионеров современных стати­стических методов (прим. переводчика).

Непрерывный процесс наблюдения нагрузки

Дискретный процесс наблюдения нагрузки

интервала

сканирования

Метод сканирования

а	0	-► 1 1	1 1	0 —	1	0	0	0
b	0	0 — 1	1 — 0	0	0 -►	1	1	1
с	0	0 1 -►	0 0	0	1	1	1	-► 0
d	1	1 1	1 0	0	0	0	0	0
2	1	2 4	3 1	0	2	2	2	1

Рисунок 15.1. Наблюдение процесса нагрузки непрерывным мето­дом измерения и методом сканирования с регулярными интервала­ми сканирования. При методе сканирования достаточно наблюдать только изменения состояния

Таблица 15.1. Квантили /-распределения Стьюдента с п степенями свободы. Заданное значение а соответствует распределению вероятностей (распределение массы*) а/2 в обоих «хвостовых»’* направ­лениях /-распределения Стьюдента. Когда п является большим, тогда мы можем использовать квантили нормального распределения

п	a =10%	a =5%	a= 1%
1	6.314	12.706	63.657
2	2.920	4.303	9.925
5	2.015	2.571	4.032
10	1.812	2.228	3.169
20	1.725	2.086	2.845
40	1.684	2.021	2.704
ОО	1.645	1.960	2.576

Пример 15.2.1: Доверительный интервал для потерь по вызовам

На группе из 30 пучков каналов мы зафиксировали результат 500 попыток вызова. Это измерение повторено 11 раз, и мы находим следую­щие значения потерь по вызовам (в процентах):

{9,2; 3,6; 3,6; 2,0; 7,4; 2,2; 5,2; 5,4; 3,4; 2,0; 1,4}

Полная сумма наблюдений равна 45,4, исумма квадратов наблюде­ний—247,88. Мы находим по формуле (1 5.1)Х = 4,1273% и согласно фор­муле (15.2) s² - 6,0502 (%). При 95% уровне, используя значения /-уровней из таблицы 15.1, получаем доверительный интервал (2.47 - 5.78). Заметим, что наблюдения получены при PCT-I нагрузке 25 Эрланг, которая пред­лагается 30 каналам. Согласно В-формуле Эрланга теоретическая вероят­ность блокировки — 5,2603%. Это значение — в пределах доверительного интервала. Если мы хотим уменьшить доверительный интервал с коэф­фициентом 10, то должны сделать в 100 раз больше наблюдений (см. фор­мулу 15.5), то есть 50 000 опросов на каждое измерение. Выполняя такое моделирование, заметим, что потери по вызовам равняются 5,245% при доверительном интервале (5.093 - 5.398).

• Распределение массы (probability mass) — термин, который применяется для обозначе­ния распределения случайной дискретной величины.

** Хвостовое распределение (tail) обозначает распределение вероятностей, такое, что оце­ниваемая величина находится в пределах от до -х (или х до °°).