5. Сложность

Сети очередей имеют такую же сложность, что и сети с комму­тацией каналов и прямой маршрутизацией (секция 11.5 и табл. 11.2). Пространство состояний сети, показанной в таблице 14.3, имеет следую­щее число состояния для каждого узла:

П№ ^{+ 1})- (14.20)

1=0

Худший случай - тот, когда каждая цепочка состоит из одного кли­ента. Тогда число состояний становится 2^s, где S — число клиентов.

Таблица 14.3. Параметры сети организации очереди с N цепочками, А'узлами и 'ZjSi клиентами. Параметр а обозначает нагрузку от кли­ентов цепочки j в узле к (см. табл. 11.2)

Цепочка	1	Узел 2 •••	К	Число клиентов
1	ац	а2! • • •	ак1	Si
2	а12	агг	а* 2	S2
N	&1N	а 2N '''	а kn	S/f

6. Оптимальное распределение производительности

Рассмотрим систему передачи данных с К узлами, которые являются независимыми узлами системы организации очереди с одним обслужи­вающим прибором М/М/1 (Эрланговская система с ожиданием с одним обслуживающим прибором). Процесс поступления вызовов к узлу к — Пуассоновский процесс с интенсивностью Х_к сообщений (клиентов) в единицу времени. Размер сообщения — экспоненциально распределен­ное значение со средней величиной У\у_к [бит]. Пропускная способность узла к - равна <р_к [бит в единицу времени]. Среднее время обслуживания равно:

ф к Ц* Ф*

Так что средняя скорость обслуживания — ц_к • Ф*, а среднее время пребывания определяется (12.34):

Вводим следующее линейное ограничение на полную производи­тельность:

к

F= (14.21)

ы 1

Для каждого распределения производительности, которая удовлет­воряет (14.21), получаем следующее среднее время пребывания для всех сообщений (математическое ожидание вызова): к

Z

к=\ ^ М-А: ' Фл ^к где

(14.23)

к—\

Применяя (13.14), получаем полное среднее время обслуживания:

1= V **._!_ (14.24)

И X \v_k '

Полная предложенная нагрузка тогда:

Л = -\. (14.25)

li-F

Закон Клейнрока для оптимального распределения производитель­ности (Kleinrock, 1964 [65]) сформулирован следующим образом.

Теорема 14.2. Закон квадратного корня Закон квадратного корня (закон Клейнрока): оптимальное распределение производительности (cp_t), которое минимизирует m_j (и таким образом общее количество сообщений во всех узлах):

yk₌bL _{+ F}.(i-_{A) (}14.26)

^Ик Zv/^7

/=1

при условии, что: * X.

F>T~- ^(R27)

к=\ Ц*

Доказательство. Вводя множитель т) Лагранжа и рассматривая:

G = т\ - 9 { ^— • (14.28)

Минимум G получен, если выбирать ф^, как приведено в (14.26).

С этим оптимальным распределением находим среднее время пре­бывания:

^{Wi =} ~r>Ti-^r- ⁽¹⁴-²⁹⁾

Это оптимальное распределение соответствует тому случаю, когда необходимая минимальная производительность \/\i. сначала распределе­на между всеми узлами. Остающаяся производительность (14.24):

F- X = ^F ' (1-Л) ^{(14 30)}

k=1

Данная производительность распределена между узлами пропорцио­нально квадратному корню из среднего потока \ /ц .

Если все сообщения имеют одинаковую среднюю величину (ц^=ц), то мы можем рассчитать различные затраты в узлах, согласно ограничению, которое фиксирует количество доступных узлов (Kleinrock, 1964 [65]).

Краткие итоги

• Многие системы могут быть представлены как сеть, в которой кли­ент получает доступ к услуге через нескольких последовательных узлов, обслуживается только одним узлом и далее сразу продолжает обслуживание на другом узле.

• Система — сеть очередей — это сеть организации очередей, где каждая отдельная очередь является узлом. Примеры сетей очередей — теле­коммуникационные системы, компьютерные системы, сети пакет­ной коммутации.

• В сетях очередей мы определяем длину очереди на данном узле как общее количество клиентов в этом узле, включая обслуживаемых клиентов.

• Сети очередей разделяются на закрытые и открытые сети. В закры­тых сетях очередей число клиентов постоянно, тогда как в открытых сетях очередей число клиентов изменяется.

• Состояние сети очередей определяется как одновременное распре­деление числа клиентов на каждом узле. Если К обозначает общее количество узлов, то состояние отображается вектором

• P(i_v i_y..., i_K), где i_k - число клиентов на узле к (к = 1, 2, ..., К).

• Пространство состояний является очень большим, и, решая урав­нения равновесия узла, трудно вычислить вероятности состояния. Вероятности состояния сетей с мультипликативной формой могут быть объединены и получены, используя алгоритм свертывания (секция 14.4.1) с помощью MVA-алгоритма.

• Сети очередей могут быть обобщены, если есть N типов клиентов. Клиенты одного заданного типа принадлежат так называемой цепочке.

• Четыре модели организации очереди обладают свойством, при котором процесс выхода из системы организации очереди — Пуассоновский процесс: М/М/п, M/G/°°, M/G/l-PS, M/G/1-LCFS-PR.

• Джексон показал, что М/М/п -узлы сети очередей имеют мультипли­кативную форму. Ключевая точка теоремы Джексона: каждый узел можно рассматривать независимо от всех других узлов и вероятности состояний можно определить, используя С-формулу Эрланга.

• При обслуживании заявок клиентов на сетях очередей часто будет возникать «зацикливание», когда заявка клиента посещает один и тот же узел несколько раз. Если мы имеем сеть очередей с заявками зацикливания, где узлы — системы М/М/п, то процессы поступления вызовов к отдельным узлам не будут Пуассоновскими процессами.

• В сети с информацией обратной связи процесс поступления вызовов будет взрывной. То есть когда имеется один (или больше) клиентов в системе, интенсивность поступления к каждому узлу будет относи­тельно высока, тогда как если нет никаких клиентов в системе, то интенсивность поступления будет очень низка.

• В случае взрывного процесса, вместо того, чтобы рассматривать един­ственное экспоненциальное распределение интервала, мы можем анализировать к фаз и рассматривать каждую фазу как поступление.

• Теория сети очередей принимает, что пакет (клиент) производит выбор нового времени обслуживания на каждом узле. Это необходи­мое предположение для мультипликативной формы.

• Расчет открытых систем прост. Сначала мы получаем объединен­ную интенсивность прибытия к каждому узлу (А_к), далее получаем предложенную нагрузку А_к на каждом узле, затем, рассматривая Эрланговскую систему с ожиданием, получаем вероятности состоя­ния для каждого узла.

• Исследование закрытых сетей с очередями намного сложнее, чем открытых. Мы можем получить относительную нормализованную

379