Пример 14.7.1: Модель Пальма восстановления машин с двумя типами клиентов

Уже отмечалось в примере I4.4.1, что эта система может быть смоде­лирована как сеть очередей с двумя узлами.

Узел 1 соответствует терминалам (машинам), в то время как узел 2 - центральному процессору (ремонтником). Узел 2 — система с одним обслуживающим прибором, тогда как узел 1 смоделирован как система с бесконечным числом обслуживающих приборов. Число клиентов в цепочках - (S, = 2, S₂ = 3) и среднее время обслуживания в узле k-s^J_k.

Относительная нагрузка цепочки 1 обозначена а, в узле 1 и а₂ в узле 2. Точно так же нагрузка в цепочке 2 обозначена р, и соответственно р₂. Применяя алгоритм свертывания, получаем:

• Шаг 1.

Цепочка 1: S,- 2 клиента

Относительная нагрузка: а\= k\- s\, а2 — ■ s\ .

Цепочка 2: S₂ = 3 клиента

Относительная нагрузка: Р\ = 's\ , Pi = Х2 ■ s\ ■

• Шаг 2.

Для узла 1 (IS) вероятность относительного состояния (см10.9):

01(0,0) =	1	01(0,2) =
0.(1,0) =	«1	0id,2) =
0i(2,O) =	aj 2	01(2,2) =
01(0,1) =	Pi	01(0,3) =
01(1,1) =	а\ • Р\	01(1,3) =
0i(2,1) =	«1 ' Р\ 2	0i(2,3) =

Для узла 2 (обслуживающий прибор) (см. 14.15) мы имеем:

ft 2

«1 '0\

2

4

6

«1 -р\

6

12

а\'Р\

02(0,0)= 1 02(0,2)= Pi

9₂(1,0)= а₂ 0з(1,2)= Ъ-аг-Рг

® (2,0) = а\ q₂(2,2) = 6 -а\-р\

й(0,1) = Рг «(0,3)= $

0₂(1,1)= 2 • а₂ • /?₂ 02(1,3) = 4 • а₂ • ^2

02(2,1) = З-а^Д 0₂(2,3)=

• Шаг 3.

Затем мы делаем свертку. Мы знаем, что общее количество клиен­тов — (2,3), то есть нас интересуют только состояния (2, 3):

012(2,3) = 0!(О, 0) • 02(2, 3) + 0!(1,О)- 02(1,3)

+ 01 (2,0) • 02(0,3) + 0!(0,1) • 0₂(2,2)

+ 0₁(1, 1)-0₂(1,2) + 0₁(2, 1)-0₂(О,2)

+ 01(0, 2) ■ 02(2, 1) + 0!(1, 2) -02(1,1)

+ 0,(2,2)-02(0, 1)+ 01 (0,3)-02(2,0)

+ 0!(1, 3) ■ 02(1,0) + 01(2,3) ’02(0,0)

Использование полученных значений дает:

\-W-a\-p\	+	а\ ■ 4- а2 -Pi
frt	+	Pi-b-a\-pl
«1 ■ Pi -З-аг'Рг	+	а\' . о2 2 ^
^■3-а22-р2	+	а\'Р\ т —~ • 2 • а2
4	+	Pi 2
а,-р\ к 2	+	1 ^ 1

Обратите внимание, что а, и а₂ (цепочка 1) появляются во второй степени, тогда как и р₂ (цепочка 2) — в третьей степени, что соответ­ствует числу клиентов в каждой цепочке. Из-за этого существенны только относительные нагрузки, а абсолютные вероятности получают нормали­зацией, делением всех элементов q_n(2, 3). Теперь достаточно просто полу­чить детальные вероятности состояния. Только в состоянии с элементами (а,² • р,³)/12 центральный процессор (ремонтник) свободен. Если два типа клиентов идентичны, модель упрощается и сводится к модели Пальма восстановления машин с 5-ю терминалами.

В этом случае мы имеем:

Е ы- Т2-а\-Р\

^{U( }} 912(2,3) '

Выбирая, а, = р, = а и а₂ = Р₂ = 1, получаем:

к'^а\’Р\_ % 1

912(2,3) 10+ 4а+ ^а²+6а+3а²+ ja³+ ja²+a³+ ^а⁴+ ^а³ + ^a⁴+jja⁵

5!

то есть, как и ожидалось, В-формулу Эрланга.

4. Другие алгоритмы для сетей очередей

А/И4-алгоритм также применим к сетям очередей с большим количе­ством цепочек, но это не будет описано здесь. В течение прошлого десяти­летия были разработаны несколько алгоритмов. Их краткий обзор приво­дится в (Conway и Georganas, 1989 [15]). Вообще, для больших сетей точные алгоритмы не применимы. Поэтому, чтобы иметь дело с сетями очередей реального размера, было разработано много приблизительных алгоритмов.