4. Вероятности состояния: m/d/n

При выводе уравнений состояния Фрея (13.41) мы получаем больше комбинаций:

Г п Л л+i

Pt+h(0= < ZPt(J)\pU,h)+ £ Pt(j)-P(n+ i-j,h). (13.54)

17=0 J j=ti + l

При условии статистического равновесия (А < п) можно вычислить абсолютные моменты времени выхода из состояния:

( п \ л+i

P(i) = \Y,P(j)>P(i,tt)+'£p(j)-p(m+ⁱ-j,^h), i-0,1,... (13.55)

U=0 ) j=n +1

Если мы знаем первые п вероятности состояний {р(0), р(\) ..., р (п- 1)}, система уравнений (13.55) может быть решена непосредствен­но подстановкой. Практически мы можем получить числовые значения, подставляя приблизительный набор значений для {/>(0), р( I) р(п - 1)}. Затем, заменяя эти значения, согласно рекурсивной формуле (13.55), получаем новые значения. После нескольких приближений мы получим точные результаты.

Явное математическое решение может быть получено с помощью производящих функций (Erlang [11] стр. 75 (83)).

4. Распределение времени ожидания: m/d/n, fcfs

Распределение времени ожидания определяется распределением Кроммелина:

(13.56)

где А — предложенная нагрузка и:

t= Г-h+ т, 0< т <h. (13.57)

В компактной форме по аналогии с (13.50):

оз.*)

;=о к= о j=o \J п + п 1 I).

Для составных значений времени ожидания t мы имеем:

л(й-1)-1

p{W<t}= £ pU). (13.59)

j= о

Для несоставных времен ожидания при t = 74 т, Т — целое число,

0. < х < 1 можно выразить распределение времени ожидания в элементах составных времен ожидания, поскольку для М/D/l:

p{W< 1} = p{W< Т + т} = е^х(^г^*&(^,')1 ' (¹¹⁶⁰⁾

J=⁰ { ^J■ /=о )

где к = п(Т+1) - 1 иp(i) - вероятность состояния (13.55).

Точное среднее время ожидания всех клиентов получить Wтрудно. Приближенное значение получено Молина (Molina):