Лекция 13 Прикладная теория организации очередей

Всего мы имеем:

W_P=V+ ist-XrWi + is^krWf. (13.24)

1=1 /=1

Для клиентов класса 1, которые имеют самый высокий приоритет, предполагая дисциплину обслуживания FCFS, мы имеем:

W, = V+Lx-sx

= V+Ax-Wi, \ (13.25)

Wi = (13.26)

1 ~ А,

• — остаточное время обслуживания для клиента, когда поступает вызов от клиента, которого мы рассматриваем (13.18):

N ,

v= Zt -тъ, (13.27)

i=i ¹

ъ

класса.

где т_ъ — второй момент распределения времени обслуживания /-того ;а.

Для клиента класса 2 находим:

W₂ = V + L\ * S \ + L2'S2 + W2 • (j]Xi).

Подставляя И'', (13.25), находим:

W₂ = Wx + A₂-W₂ + Ai-W₂,

w₂ = - P- - , (13.28)

1- A\- A₂

^Wl {1- A,} {I- (A1 + A2)) ‘ ⁽¹¹²⁹⁾

Находим общее время ожидание (Cobham, 1954 [14]):

где:

А,,

А_п=0

(13.31)

= t

i=О

Формула (13.30) может быть интерпретирована следующим образом. Полное время ожидания клиентов класса р не зависит класса клиентов, ожидающих, пока обработка очереди не будет закончена (V для всех клас­сов одинаково).

Кроме того, время ожидания включает время ожидания клиентов, которые уже прибыли и имеют, по крайней мере, такой же приоритет {А’}, а также клиентов с более высоким приоритетом, прибывающим в течение времени ожидания {А’_,}.

Пример 13.4.1: Система с программным управлением

Мы рассматриваем компьютер, который обслуживает два типа кли­ентов. Первый тип имеет постоянное время обслуживания 0,1с. и интен­сивность поступления 1 вызов/сек. Другой тип имеет экспоненциально распределенное время обслуживания со средней величиной 1,6 с. и интен­сивность поступления 0,5 клиента/с.

Нагрузка от двух клиентов типов тогда — А, = 0,1 Эрл., соответствен­но А^= 0,8 Эрл.

Из (13.27) мы находим:

у= 1.(0.1)²+ 2р 2-(1.6)² = 1.2850 с.

Без какого-либо приоритета среднее время ожидания по формуле Полячека-Хинчина (13.2) равно:

-тг^йУ—'

С приоритетом без прерывания процесса обслуживания находим:

Tun 1 (самый высокий приоритет): 1.285

¹ 1-0.1 ’

W,

W₂ = ‘ _ч = 14.28 с.

l-(A, + A₂)

Тип 2 (высокий приоритет): W₂ = 6.43 с,

Wi = 64.25 с.

Это показывает, что мы можем изменять тип 1, почти не влияя на тип 2. Однако обратное утверждение не имеет места. Константа в законе Сохранения (13.23) такая же, как в дисциплине без приоритета.

0. 9-12.85 = 0.1-1.43 + 0.8- Ц28 = 0.8-6.43 + 0.1-64.25 = 11.57.

1. Дисциплина организации очереди sjf: m/g/1

Одно из основных свойств дисциплины организации очереди SJF: чем короче время обслуживания клиента, тем выше его приоритет. Вводя бесконечное число приоритетных классов, мы получаем из формулы (13.30), что клиент со временем обслуживания t имеет среднее время ожи­дания (Phipps 1956):

W_t= У—*, (13.32)

(1 -А,)²’

где А — нагрузка от клиентов со временем обслуживания меньше или равным t.

SJF-дисциплина в результате приводит к наименьшему времени ожи­дания. При ожидании различные приоритетные классы имеют различные затраты в единицу времени. Клиенты класса j имеют среднее время обслу­живания j и платят с. за единицу времени ожидания. Оптимальная страте­гия (минимальная стоимость) состоит в том, чтобы назначить приоритеты

1. 2, ... согласно увеличивающемуся отношению s /с..

Пример 13.4.2: М/М/1 с дисциплиной очереди SJF

Мы полагаем, что случай с экспоненциально распределенными временами пребывания в системе со средней величиной 1/ц, которая ого­ворена, выбран как единица времени (М/М/1). Заметим, что очень дли­тельные времена обслуживания, даже когда их немного, все равно вносят значительный вклад в полную нагрузку (рис. 3.2).

Вклад в полную нагрузку от клиентов со временем обслуживания < / — это {(3.22), умноженное на А= X• ц}:

ззз

А, = J х • X •/(x)dx

о

t

= • X • (ц • е^_цх) dx

о

= А{ 1- е“^(ц? + 1)}

Подставляя это в (13.32), находим W_r, как это проиллюстрировано на рис. 13.3, где показана FCFS-стратегия. Она имеет такое же среднее время ожидания, как LCFSи SIRO, показанное для сравнения как функция фак­тического времени пребывания в системе.

Щ [5“¹ ] Среднее время ожидания А =0.9

Рисунок 13.3. Среднее время ожидания W_t как функция фактиче­ского времени обслуживания в М/М/1 системе для SJF- u FCFS- дисциплин, соответственно

Среднее время ожидания для всех клиентов с SJF — меньше, чем с FCFS, но это не очевидно из рисунка. Среднее время ожидания для SJF равно:

со

о

о

Это выражение вычислить не просто.

Предложенная нагрузка - 0,9 Эрл, и как единица времени выбрано среднее время обслуживания. Заметьте, что для SJF минимальное среднее время ожидания является 0,9 единиц времени, потому что вероятная пред­ыдущая обслуживаемая работа должна быть закончена. Максимальное среднее время ожидания - 90 единиц времени. По сравнению с FCFS, при использовании SJF 93,6% заданий имеют более короткое среднее время ожидания. Это относится к заданиям со временем обслуживания, мень­шим, чем 2,747 средних значений времени обслуживания (единицы време­ни). Предложенная нагрузка может быть больше, чем один Эрл, но тогда только более короткие задания будут иметь конечное время ожидания

2. М/м/п приоритетная дисциплина организации очереди без прерывания обслуживания

Мы можем также обобщить классическую систему времени ожида­ния Эрланга М/М/п на приоритетную дисциплину организации очереди без прерывания обслуживания. При этой дисциплине все классы клиентов имеют одно и то же экспоненциальное распределение времени обслужи­вания со средней величиной s = цг*. Обозначая интенсивность прибытия на класс X , мы имеем среднее время ожидания Wp на класс р:

А — полная предложенная нагрузка для всех классов. Вероятность Е₂._п(А) для времени ожидания определяется С-формулой Эрланга, обслу­живание клиентов завершается со средним временем между окончаниями обслуживания s/n, когда все обслуживающие приборы заняты. Для самого высокого приоритетного класса р = 1 находим:

Wi = Е₂,_п(А)-+ -AiW_lt п п

т = Е₂,_п(А)--^—. (13.33)

п — А1

Для р-2 подобным способом находим:

т = е_2п(а)-+ -a₁w₁+ -a₂w₂ +

п п п кп )

= т + ~A₂W₂ + --А, W₂, п п

W₂ = —^E-l’ⁿS^A) . (13.34)

{п - Ai}{ п - (Ai + А₂)}

В общем случае находим (Cobham, 1954 [14]):

nsE₂,„(A)

{п - А'_р-_Х} {п - А’_р} ’