P(i,j) = P(0'P(J)

(Ю.2)

где р (/) и р (J) — одномерные усеченные Пуассоновские распределения, Q — нормировочные константы, и (/', j) выполняют вышеупомянутые ограничения (10.1). Поскольку рассматриваются Пуассоновские потоки вызовов, которые обладают свойством PASTA (Пуассоновское поступле­ние вызовов, наблюдаемое за среднее время), потери по времени, потери по вызовам и потери по нагрузке равны между собой для обоих потоков нагрузки, и они равняются Р (/ +j = n).

Биноминальным разложением или сверткой двух Пуассоновских распределений мы находим следующие объединенные вероятности состо­яний, где Q получено нормализацией:

(10.3)

(Ю.4)

Это усеченное Пуассоновское распределение (7.9) с предложенной нагрузкой:

(10.5)

А =А. +А.

Мы можем также интерпретировать эту модель как систему Эрланга с потерями с одним Пуассоновским потоком вызовов и гиперраспреде- ленными временами пребывания в системе следующим образом. Полный процесс поступления вызовов — суперпозиция двух Пуассоновских про­цессов с полной интенсивностью поступления:

А, = Xi + Х₂, (10.6)

и распределение времени пребывания в системе является гипер- распределенным:

Мы присваиваем веса эти двум экспоненциальным распределениям согласно относительному числу вызовов в единицу времени. Среднее время обслуживания и распределение времени пребывания в системе является гиперраспределенным:

Х.1 1 А-2 1 А \ + А₂

A.J + Я-2 4- Я-2 Ц2 + А.2

т, = j, 00.8)

и соответствует предложенной нагрузке.

Таким образом, мы показали, что система с потерями Эрланга спра­ведлива для гиперраспределенных времен пребывания в системе.

Можно обобщить вышеупомянутую модель на N потоков нагрузки:

A^ix A'i A‘^N

P(h,h, -,iN) = Q-~-~r -r*;, 0<ij<n, Zjij < n, (10.9)

11: 12- In’ 1

Данная модель является общей многомерной В-формулой Эрланга. Обобщая (10.3), мы замечаем, что глобальные вероятности состояния могут быть вычислены следующей рекурсией, где д(х) обозначает веро­ятность относительного состояния, и р(х) — абсолютные вероятности состояния:

(10.10)

* Pi

/=0

д(х)

Q(n)

(10.11)

д(х) =

0(и) = 2>0

р{х)

1 ^N

-^Aj-q(x- 1), <?(0) = 1,

, 0< х < п.

Если использовать рекурсию с нормированием (секция 7.4), то мы получаем рекурсивную формулу В- Эрланга. Формула (10.10) подобна уравнениям равновесия для Пуассоновского случая, когда:

N

A=Y,Aj.

У=1

Потери по времени — Е = р(п), и, в соответствии со свойствами потока PASTA, потери по времени также равны потерям по вызовам и по нагрузке. Числовые оценки мы рассмотрим в секции 10.4. Многомерные системы были сначала упомянуты Эрлангом и более тщательно рассмо­трены Иенсоном в Erlangbook (Jensen, 1948 [49]).

2. Обратимые марковские процессы

В предыдущей секции мы рассматривали двухмерную диаграмму переходов состояний. Для увеличивающегося числа потоков нагруз­ки число состояний (и следовательно уравнений) увеличивается очень быстро. Однако, можно упростить проблему, используя структуру диа­граммы переходов состояний. Рассмотрим двухмерную диаграмму пере­ходов состояний, показанную в рис. 10.2. Для четырех соседних состоя­ний поток в направлении по часовой стрелке должен равняться потоку в противоположном направлении (Kingman, 1969 [64]), (Sutton, 1980 [95]). Взглянем на рис. 10.2.

Ж			*	У.
	'			У '

$^+1,y+U ...

X^ij+l "Т ••• « V Л

Ч Ч, А		mO’+lJ+l) ^
ыи)		H2(U+1) X2O+IJ)
		^ ыи)
. (	‘J	1 '( Й-1.У

Ц2О+1 ,j+1)

Ц1О+1J)

Рисунок 10.2. Критерии Колмогорова - необходимое и достаточное условие для обратимости двухмерного марковского процесса: цирку­лирующий поток среди четырех соседних состояний в этом квадрате равняется нулю. Поток по часовой стрелке равняется потоку против часовой стрелки (10.12)

По часовой стрелке:

Ibj ] -+ IU + 1]: P(i,j) • Яг (U)

[ij + 1] -» [/ + 1 ,7 + 1] : p(i,j + 1) • k\(i,j+ 1)

[/ + 1 ,j + 1] -> [/ +1 ,j) : p(i+ l,y' + l) • Ц2(/+ 1,7+ 1)

[/ + l,y] -> [/,7] : p(i+ 1,7') • Mi(/+ 1,7’),

Против часовой стрелки:

[i,j 1 -+ P + 1,71: jPO',7 ) • A i (i,j)

[/' + 1,7'] -> [/+1,7 + 1]: P(/+1,7')-M»+1J)

[/ + 1,7 + 1] -» [/,7+1]: />(/+1,7+l)-^i(/+1,7+1)

[/,7 +1] -> [/,7 ]: /?(/,/ + 1) • ц₂(/,7 +1) •

Мы можем сократить оба выражения на вероятности состояния и затем получить условие (10.12). Необходимое и достаточное условие для обратимости - что следующие два выражения являются равными.

По часовой стрелке:

ыи)- U(i>j+l) • Ц20'+ 1,7+ 1) • щ(/+1,7') (10.12)

Против часовой стрелки:

Ыи)' М»+ 1,7)” l^Ai(i⁺l,7 + 1) • MU + 1) •

Если эти два выражения равны, то имеется локальное или частичное равновесие. Таким образом, необходимым условием для обратимости является то, что если есть поток (стрелка) от состояния / к состоянию j, тогда должен также быть поток (стрелка) от состояния j до состояния /. Мы можем применить уравнения сечения между любыми двумя подклю­ченными состояниями. Итак, из рисунка 10.2 мы получаем:

P(U) • Ыи) = p(i +1,7') * И>0 +1 J)- (10.13)

Мы можем выразить любую вероятность состояния p(i, j) с помощью вероятности состояния р(0, 0), выбирая любой путь между этими двумя состояниями (критерии Колмогорова). Мы можем, например, выбрать путь:

(0,0), (1,0),..., (|,0), (/,!),...,(/, 7),

Тогда получаем следующее уравнение равновесия:

М0,0) ММ>) Х₂(/,0) Ы/,1) UU-1) _mn. _nn

^p(hJ> ц,(1,0)' m(2,0) mO'O) *|x₂fti)'w(W) MU)‘^{P( , } 1 ;}

Мы находим p(0, 0) нормировкой полной вероятности событий. Условие для обратимости будет выполнено во многих случаях, например, для:

Ыи)=Ы0, MU)=i-/Ui, (10.16)

Ыи)= h(/), MU) = j -Mi- (10.17)

Если мы рассматриваем многомерную систему с потерями, имеющую N потоков нагрузки, то любым потоком нагрузки может быть зависимый от состояния Пуассоновский процесс. В конкретном потоке могут быть нагруз­ки типа ВРР (Бернулли, Пуассон, Паскаль). Для N-мерных систем условия обратимости аналогичны (10.12). Критерий Колмогорова должен выпол­няться для всех возможных путей. Практически, мы не испытываем ника­ких проблем, потому что решение, полученное согласно предположению

об обратимости, будет правильным решением тогда и только тогда, когда выполнены уравнения равновесия узла. В следующей секции мы используем это как основание, чтобы ввести общую многомерную модель нагрузки.