1. Вывод формулы Полячека-Хинчина

Мы рассматриваем систему организации очереди М/G/l и хотим найти среднее время ожидания обслуживания для произвольного клиен­та. Оно не зависит от дисциплины организации очереди, и поэтому можно далее принять, что это дисциплина FCFS. Из-за Пуассоновского потока вызовов (свойство PASTA) фактическое время ожидания клиентов равно виртуальному времени ожидания. Среднее время ожидания IVдля произ­вольного клиента может быть разбито на две части.

1. Среднее время обслуживания от момента, когда клиент прини­мается на обслуживание, до момента окончания обслуживания. Поскольку мы рассматриваем случай, когда новый вызов поступает в случайный момент времени, остаточное среднее время обслужи­вания, данное (3.25): s

т\,г = 2 ‘ ^Е’

где 5 и е имеют то же самое значение, как и в (13.2). Если процесс посту­пления вызовов — Пуассоновский процесс, вероятность поступления нового вызова в момент обслужйвания другого клиента равна А, потому что для системы с одним обслуживающим прибором мы всегда имеем р_й - 1 - А (предложенная нагрузка равна обслуженной нагрузке).

Вклад в среднее время ожидания обслуживаемого клиента равен:

• = (1 - А)-0+А-уе

X

= — • ^т2 ■

Время ожидания из-за клиентов, ожидающих в очереди (FCFS). В среднем длина очереди - L и определяется по теореме Литла:

L= X- W,

где L — среднее число клиентов в очереди в произвольный момент вре­мени, X является интенсивностью поступления вызовов, и W — среднее время ожидания, которое мы ищем.

Для каждого клиента в очереди математическое ожидание времени обслуживания — s единиц времени. Тогда среднее время ожидания из-за клиентов, стоящих в очереди, равно:

L-s = X-W-s = А • W. (13.5)

Таким образом, полное время ожидания равно (13.4) и (13.5):

W = V+AW,

А • s 2(1 -А)'^г>

и это отношение является Формулой Полячека-Хинчина (13.2). W— сред­нее время ожидания для всех клиентов, тогда как среднее время ожидания для задержанных клиентов w становится (A = D= вероятности задержки) (3.20):

W s

W — — • £

D 2(1 -А) ' (13.6)

Вышеупомянутый вывод справедлив, так как математическое ожида­ние по времени равно математическому ожиданию по вызовам, когда про­цесс поступления вызовов — Пуассоновский процесс (свойство PASTA).

2. Период занятости для m/g/1

Период занятости системы организации очереди - временной интер­вал с момента, когда заняты все обслуживающие приборы, до момента, пока хотя бы один прибор не становится снова свободным. Для M/G/1 средняя величина периода занятости вычисляется просто.

В какой-то момент система очередь становится пустой, она не имеет памяти из-за Пуассоновского потока вызовов. Эти моменты — точки регенерации очереди (точки равновесия), и следующее событие возникает согласно Пуассоновскому процессу с интенсивностью X.

Поэтому мы должны рассматривать только цикл с момента изме­нения состояния обслуживающего прибора из свободного в занятое до следующего раза, когда она изменяет состояние из свободного в занятое. Этот цикл включает период занятости продолжительностью T_t и сво­бодный период продолжительностью Т_а. Рис. 13.1 показывает пример с постоянным временем обслуживания.

Состояние

Занято •

h

Свободно •

Время

■Го-

"Т t

Поступление

71-

Рисунок 13.1. Цикл с постоянным временем обслуживания

Соотношение времени, когда система является занятой, тогда равно:

_??^₌ _ «г. =_A=X._S

f^Ta + Ti тТо+ftlTi

Из /и_ = Vi. мы имеем:

Т₀ ' л

^mTi= JITJ- (¹³-⁷)

В течение периода занятости обслуживается, по крайней мере, один клиент.