1. Оптимизация модели восстановления машин

В этой секции мы оптимизируем модель восстановления машин тем же способом, как сделал это Пальм в 1947 г. Заметим, что модель для единственного ремонтника (одного обслуживающего прибора) похожа на систему с потерями Эрланга, которую мы оптимизировали в лекции 7. Мы можем видеть, что одна и та же модель может быть оптимизирована несколькими способами.

Рассмотрим терминальную систему с одним компьютером и Sтерми­налами и найдем оптимальное значение S. Примем следующую структуру затрат:

c_t - стоимость на терминал в единицу времени при паузе (размышле­ние или работа только с терминалом);

c_w — стоимость на один терминал в единицу времени при ожидании;

с - стоимость на один терминал в единицу времени при обслужи­вании;

с_а — стоимость на компьютер в единицу времени.

Предполагается, что стоимость компьютера не зависит от использо­вания и разбита однородно по числу всех терминалов. Результат (конеч­ный продукт) процесса — это некоторое время паузы (размышления и подготовки информации в терминалах) во время производства продукта.

Общая стоимость с₀ в единицу времени, когда терминал в паузе:

1

р, • Со = Pt • С, + р, • c_s + p_w • c_w + — • с_а . (12.54)

Нагрузка времени ожидания

Рисунок 12.11. Модель восстановления машины. Общие стоимости, данные в (12.57), показывают общую стоимость как функцию числа терминалов для сервисного отношения д = 25 и отношения стоимо­сти г= 1/25 (см. рис. 7.6)

Мы хотим минимизировать с₀. Сервисное отношение в = m_t /m_s равно р,/р,- Вводя отношение стоимости г = с_х/с_а, получаем:

Ps Pw ' С» + г " С_а

Со = С, + — • с, + ^

с = 309

* 0)4' 317

^Lnq~Hbiот 322

Это выражение должно быть свернуто как функция S. Учитывая, что только последний член зависит от числа терминалов, получаем:

1ШП {С₀}

ШШ

5

mm

s

(12.56)

mm

s

пип

s

?}■

(12.57)

mm

s

n,/S r-n_w + 1 \

nt J

r[S-{ 1- E_ls(g)}{ 1+ (?}] + !

r-p_w+(\/S) \

Pt I

r-(n_w/S) + (l/S)

{ 1 - ■ в r-S+ 1

{l - £u(0)} • в ^{+1 +} в

Мы замечаем, что минимум не зависит от с₍ и c_s и что только отно­шение г = c_w /с_а содержит характеристики стоимости. Числитель соответ­ствует (7.31), тогда как знаменатель соответствует обслуженной нагрузке в соответствующей системе с потерями. Таким образом мы минимизируем стоимость обслуживания в Эрл. для соответствующей системе с потерями. На рис. 12.11 показан пример. Мы замечаем, что результат отличается от результата, полученного с использованием принципа Мо для системы с потерями Эрланга (рис. 7.6), где мы оптимизируем прибыль.

Краткие итоги

• В этой лекции рассматривается система с ожиданием, имеющая бес­конечное число мест ожидания. Когда все п обслуживающих прибо­ров заняты, поступивший вызовов ставится в очередь и ждет, пока не освободится хотя бы один обслуживающий прибор.

• Когда хотя бы один обслуживающий прибор свободен, клиенты не могут оставаться в очереди (полная доступность).

• Рассмотрены два случая потоков нагрузки, Пуассоновский поток вызовов (бесконечное число источников) и экспоненциально распре­деленное время обслуживания (PCT-I) — Эрланговская система с ожиданием (М/М/п).

• Также рассмотрены ограниченное число источников и экспоненци­ально распределенное время обслуживания (PCT-II). Это — модель Пальма, называемая моделью восстановления машин.

• Система с ожиданием типа М/М/п обслуживает Пуассоновский поток вызовов (М) и имеет экспоненциальные время обслуживания (М) и п обслуживающих приборов при бесконечном числе мест ожидания.

• Состояние системы определяется как общее количество пользовате­лей в системе (или в обслуживании, или ожидающих в очереди).

• Вероятность, что система с ожиданием находится в состоянии i, равна

0 < i < п,

РО) =

* 0)4'

i> п.

/>(«)•— =Р(0)'

где

Р(°) = —:— > ^А < ^п ■

V?Л' А^п п

_/=0 i\ п\ п- А

• Вероятность ожидания p{W>Q}-E_{2 п}(А) в системе с ожиданием

равна:

А^п п

г t л\ п\ п - А а . „

²'^{и( )_} , А А² А^п~^] А- п ’

1+ “Г + + ■”+ 7 ТТ. +

12! (л - 1)! и! п - А

(iформула Эрланга для систем с ожиданием).

• Поскольку мы имеем очень точную рекурсивную формулу для чис­ловой оценки В-формулы (7.29) Эрланга, можно использовать сле­дующие отношения для того, чтобы получить числовые значения для С-формулы:

/Г ЛП ^Е'’^ЛА)

Ег,_п(А) =

1- А {1- E_h„(A)}/n

• Мы должны отличать длину очереди в произвольный момент време­ни и длину очереди, когда есть клиенты, стоящие в очереди.

• Длина очереди L в произвольной момент времени называется вирту­альной длиной очереди. Эта длина очереди определяется для произ­вольного клиента:

L„ = Е₂,М)-^— А< п п-А

Средняя длина очереди со временем ожидания больше нуля (длина очереди, когда есть клиенты, стоящие в очереди):

^Lnq~Hbiот

где L — случайная переменная, обозначающая длину очереди. Теорема Литла говорит, что средняя длина очереди в произвольный момент времени равна интенсивности прибытия, умноженной на среднее время ожидания:

L =\W

п п

Представляют интерес две характеристики: среднее время ожидания W для всех клиентов и среднее времени ожидания w для клиентов, для которых время ожидания имеет положительное значение. Среднее время обслуживания для системы равно:

W_n = Ег_>п(Л) • • п-А

Среднее время ожидания w для задержанных вызовов: s

w_n =

п

Мо предложил свой принцип для систем организации очереди. Согласно этому принципу оптимальное решение равно:

F_w,_ni-M) > | > F_Wr„,(A)> i=l,2,...k.

где с. — переменная стоимость канала;

F_Wn (А) — функция увеличения времени ожидания;

г'} (тета) - множитель Лагранжа.

Системы организации очереди, где дисциплина обслуживания зави­сит от времени поступления вызовов, все имеют одни и те же средние времена ожидания. В этом случае стратегия оказывает влияние только на распределение времен ожидания для каждого отдельного клиента. Вероятность р (W < t) = F (t), что положительное время ожида­ния t превосходит заданную величину, равна вероятности, что в Пуассоновском потоке вызовов с интенсивностью пц, по крайней мере, (к+1) вызовов поступят в течение интервала t.

• Исследование распределения времени ожидания упрощается в случае дисциплины (First Come First Served — «Первый прибыл — Первый обслужен»). Та же дисциплина обозначается FIFO (First In First Out). Эта дисциплина также называется дисциплина обслуживания в порядке поступления.

• При поступлении вызова в систему с ожиданием и дисциплиной обслуживания FCFS со всеми ранее занятыми обслуживающими при­борами можно:

1. рассчитать число к ждущих клиентов. Полное время ожидания тогда будет (к+\) - Эрланговское распределение;

2. если не учитывать этих ждущих клиентов, то время ожидания ста­новится экспоненциально распределенным.

• Среднее время пребывания заяйки в системе в случае одного обслу­живающего прибора:

1

• Режим разделения времени - это лучшее решение для оптимального обслуживания большой группы источников нагрузки, использую­щих, например, терминалы, подключенные к универсальному ком­пьютеру.

• Вероятности состояния модели ремонта машин с одним компьютером и S терминалами справедливы в течение произвольных времен пауз (размышления и работа с компьютером), когда времена обслуживания компьютером являются экспоненциально распределенными.

• Модель ремонта машин легко может быть обобщена на п компью­теров и может быть оптимизирована для терминальной системы с одним компьютером и S терминалами.

311