Пример 12.5.3: Потери по нагрузке

Мы можем определить потери по нагрузке обычным способом (сек­ция 2.3). Предложенная нагрузка — это нагрузка, которая будет при отсут­ствии очереди.

Удельная нагрузка будет (8.8):

2. т

а~ ~

1 + Р m_t + m_s На один источник обслуженная нагрузка:

т

У

m_t + m_w + m_s

Потери по нагрузке равны:

с =

а

m_t+m_s т_у

= 1 -

m_t+m_w + m_s m_t+m_w + m_s С = p_w

Потери по нагрузке становятся равными соотношению времени, потраченного на ожидание. Для системы Эрланга с ожиданием потери по нагрузке являются нулевыми, потому что вся предложенная нагрузка обслуживается.

3. Модель восстановления машин с п серверами

Вышеупомянутая модель легко может быть обобщена на п компью­теров.

Диаграмма переходов показана на рис.12.10.

Вероятности устойчивых состояний равны:

⁼ (0 (й) ^Р^’ 0<i<n,

_{p(i) =}

(5-|)!\иц/ (12.47)

где мы имеем нормировочное ограничение:

2>0‘) = 1. (12.48)

(=0

Sy (S- 1)у (5- /7+2) у (*У- л + Л) у (S-n)y (S-n-l)у У

Ц 2ц (/г — 1)1-1 ⁿV^t «И «И

Рисунок 12.10. Диаграмма переходов состояний для модели восста­новления машин с S терминалами и п компьютерами

Можно показать, что вероятности состояния не зависят от распре­деления времени паузы (размышление или работа с терминалом), как и в случае с одним компьютером. (Мы получаем Пуассоновский поток вызо­вов, зависимый от состояния).

Произвольный терминал — в случайный момент времени может находиться в одном из трех возможных состояний:

р = р{ терминал, обслуживаемый компьютером}', р= р{ терминал, ожидающий обслуживания} ', р_к=р{ терминал в паузе}.

Мы имеем:

Ps = 4 I Yj i ’Р(*) + X ⁿ 'PW1 ’ (12.49)

⁰ [ /=0 i=n+l J

Pt = Ps'~, (12.50)

Y

p_w = 1 -p_s-pt. (12.51)

Среднее использование компьютеров равно:

_a=P±._s=^r±. (12.52)

п п

Среднее время ожидания для терминала равно:

W= — (12.53)

Ps Ц

Иногда p_w называют коэффициентом потерь терминалов, и анало­гично (1 - а) называют коэффициентом потерь компьютеров (рис. 12.9).

Пример 12.5.4: Числовой пример

Следующие числовые примеры иллюстрируют то, что мы получаем самое высокое использование для больших значений п (и 5). Рассмотрим систему с S/n = 30 и й/у = 30 для большого числа компьютеров (в этом случае p_t = а).

n	1	2	4	8	16
Ps	0.0289	0.0300	0.0307	0.0313	0.0316
P„	0.1036	0.0712	0.0477	0.0311	0.0195
P,	0.8675	0.8989	0.9215	0.9377	0.9489
a	0.8675	0.8989	0.9215	0.9377	0.9489
Ий 4	3.5805	2.3754	1.5542	0.9945	0.6155