2. Принцип Мо для систем с ожиданием

Мо сначала предложил свой принцип для систем организации оче­реди. Он изучил времена ожидания абонентов для оператора на ручных станциях Копенгагенской Телефонной Компании.

Рассмотрим к независимости систем организации очереди. Вызов, обслуживаемый во всех к системах, имеет полное среднее времени ожидания

к

где W. — среднее время ожидания /-той системы, которая имеет «.обслужи­вающих приборов и предложенную нагрузку А.. Стоимость канала равна переменной стоимости с. плюс постоянная стоимость, выраженная кон­стантой С₀. Таким образом, общая стоимость каналов равна:

(12.23)

Если время ожидания также рассматривать как стоимость, то общая стоимость будет равна/=/(и,, п_г,п_к). Она должна быть свернута как функ­ция числа п. каналов в отдельные системы. Если полное среднее время ожида­ния — W, то распределение каналов по отдельным системам определяется:

(12.24)

где тЭ (тета) — множитель Лагранжа.

Величина п. является неотъемлемой частью необходимого условия для определения минимума, и можно показать, что в этом случае доста­точным условием для минимума являются следующие неравенства:

0< / {п_ъп₂,... ,щ- l,...,n_k)-f(n_un₂,...,n_h...,n_k),

О > f(n_un₂,... ,n_k)-f (п\,п₂,. ..,«/+1, ...,п_к), (12.25)

что соответствует:

(12.26)

W_ni-_X (A,)- W_ni(A_i) > W„,_+i (Л,)<

где W_nj(A) определено в (12.15).

Выраженное с помощью функции увеличения времени ожидания F_Wn(A) (12.22) оптимальное решение равно:

(12.27)

Fw,n i—i (А) > -^ > F_w,m(A), /=1,2, ...к.

Функция F_w (А) сведена в таблицу в Принципе Мо (Jensen, 1950 [50]). Подобная оптимизация может быть проведена для других функций уве­личения.

Пример 12.3.1: Система с ожиданием

Мы рассматриваем две различных М/М/п системы организации оче­реди. Первая имеет среднее время обслуживания 100 с и предложенную нагрузку 20 Эрл. Отношение стоимости с, /■& равно 0,01. Вторая система имеет среднее время обслуживания, равное 10 с, и предложенную нагруз­ку 2 Эрл. Отношение стоимости равняется с_г/Ь = 0,1. Таблица функции увеличения F_wn (А) дает: и, = 32 канала и я₂= 5 каналов.

Средние времена ожидания:

W_x = 0,075 с.

Ж, = 0,199 с.

Это показывает, что вызов, который обслуживается в обеих системах, имеет полное среднее время ожидания 0,274 с и что система с меньшим количеством каналов вносит больший вклад в среднее время ожидания.

Стоимость ожидания связана с отношением стоимости. Инвестируя больше в вышеупомянутую систему, мы уменьшаем затраты независимо от системы организации очереди. Необходимо идти на вложения, пока получаем прибыль. Исследования Мо в течение 1920-х годов показали, что среднее время ожидания для абонентов маленьких станций с немно­гими операторами должно быть большим, чем среднее время ожидания при больших станциях со многими операторами.

3. Распределение времени ожидания для м/м/п при дисциплине fcfs

Системы организации очереди, где дисциплина обслуживания зави­сит от времени поступления вызовов, все имеют одни и те же средние вре­мена ожидания. В этом случае стратегия влияет только на распределение времен ожидания для каждого отдельного клиента. Исследование распре­деления времени ожидания упрощается в случае дисциплины FCFS (First Come First Served - «Первый прибыл - Первый обслужен»). Эта же дис­циплина обозначается FIFO (First In First Out). Она также называется дис­циплиной обслуживания в порядке поступления. Но если обслуживающих приборов много, заявка может не обязательно покинуть обслуживающий прибор первой. Тогда дисциплина в порядке поступления рассматривается

в соответствии с принципом, чтобы время выхода из очереди и начало освобождения обслуживающего прибора была началом обслуживания другой заявки.

Рассмотрим произвольный вызов. По прибытию в систему вызов или обслуживается немедленно, или должен ждать в очереди (12.6).

Предположим, что вызов, который мы рассматриваем, должен ждать в очереди, то есть система может быть в состоянии [п + к], (к = 0, 1, 2, ...), где к — число занятых мест ожидания как раз перед поступлением вызова.

Наш вызов должен ждать, пока будет завершено обслуживание к + 1 вызовов, прежде чем станет доступным свободный обслуживающий при­бор. Когда все п обслуживающих приборов работают, система завершает обслуживание вызовов с постоянной скоростью п\1, то есть процесс выхода вызовов из обслуживания является Пуассоновским процессом с данной интенсивностью. Мы используем отношения между числовым пред­ставлением и представлением с помощью интервала (5.4). Вероятность p(W<t) - F(t), что положительное время ожидания t превосходит задан­ную величину, равна вероятности того, что в Пуассоновском потоке вызовов с интенсивностью яц, по крайней мере, (к+1) вызовов поступят в течение интервала t (6.1):

(12.28)

Вышеупомянутое равенство справедливо при условии, что наш вызов должен ждать в очереди. Условная вероятность, что наш вызов поступит, когда все п обслуживающих приборов заняты и имеется к обслуживаемых вызовов (к= 1,2,...), такова:

X р(п + к)

(12.29)

Это геометрическое распределение, включая нулевой класс (табл. 6.1). Безусловное распределение времени ожидания тогда равно:

оо

(12.30)

Когда все элементы — положительные вероятности, мы можем поме­нять порядок суммирования. Внутренняя сумма является геометрической прогрессией:

^,л ' А\ (А\^к / А\

••/ \»/ \ и/ V/I

1- (4^tУ п ) 1 - (4/л )

-¹ - 'f

Подставляя результат этой суммы, мы получаем:

^ г=0 /! 1=0 /! \и/ J _ g-яц/ |_е”^ _ '4/" | ^

/■(О = 1 - ,

f(0 = 1-е“⁽^^-х)/ , п>А, t> 0. (¹²-³¹)

то есть экспоненциальное распределение. Очевидно, существует пара­докс — при поступлении вызова в систему со всеми ранее занятыми обслу­живающими приборами можно:

1. рассчитать число к ждущих клиентов. Полное время ожидания тогда будет (&+1) - Эрланговское распределение;

2. если не учитывать этих ждущих клиентов, то время ожидания стано­вится экспоненциально распределенным.

Интерпретация этого факта — то, что взвешенная сумма распреде­лений Эрланга с геометрически распределенными коэффициентами веса эквивалентна экспоненциальному распределению. На рис. 12.3 показана диаграмма состояний для (12.30), и мы можем заметить, что она может быть сведена к единственному экспоненциальному распределению (сек­ция 4.4.2 и рис. 4.9). Формула (12.31) подтверждает, что среднее время ожидания w_n для клиентов, которые должны ждать в очереди, определяет­ся выражением, показанным в (12.17).

Распределение общее время ожидания (для произвольного вызова) равно (3.19):

F_s(t)= 1-£₂,„(Л)-е-^(л-^' , А<п, t> 0, (12.32)

и средняя величина этого распределения — IV, в соответствии с (12.15).