Лекция 11 Планирование телекоммуникационных сетей

Таблица 11.1. Матрица нагрузки. Полная входящая нагрузка равна полной исходящей нагрузке

От		К станции			k
станции	1 •	/	... j .	■ К	WS II
1	Ап ■	' А и	• • • Ay ■	' A ix	A i.
/	Ап '	■ А и	••• Ag •	■ AiK	Ar
j	Aji '	■ Aj,	Ajj	' AjK	Aj.
К	Aki ■	' AKi	• ■ • Ащ '	.. ^	Ak-
н	A. j •	• А.,	••• A.j	■ Ak	k k J^At. = J^A.j t=i j=l

1. Метод двойных коэффициентов Круитгофа

Предположим, что мы знаем фактическую матрицу нагрузки, и что имеем прогноз будущей суммы /-той строки O(i) и сумму j- го столбца T(j), то есть полные входящую и исходящую нагрузки для каждой станции. Этот прогноз нагрузки может быть получен из абонентских прогнозов на отдельные станции. Посредством метода двойных коэффициентов Круитгофа (Kruithof,, 1937 [69]) можно оценить отдельные будущие зна­чения А_и матрицы нагрузки. Процедура должна корректировать отдель­ные значения А так, чтобы они были согласованы, т.е. прогнозируемые суммы строк (столбцов):

Af^Ag-%-, (11.1)

оо

где 5₀ - фактическая (измеренная) сумма, и 5, - новая (прогнозируемая) сумма строки (столбца). Если мы начинаем с регулировки А., относи­тельно сумм строки, то суммы будущих строк будут совпадать с про­гнозируемыми значениями, но суммы столбцов не будут согласованы с требуемыми значениями. Поэтому следующий шаг должен корректи­ровать полученные значения А относительно сумм столбцов так, чтобы они были согласованы. Но это может привести к тому, что суммы строк снова будут расходиться. В общем случае делается несколько итераций определения сумм строк и столбцов, после чего полученное значение после нескольких повторений сходится к одному значению. Процедуру лучше всего проиллюстрировать примером, который приведен ниже.

Пример 11.1.1: Приложение метода двойных коэффициентов Круитгофа

Мы рассматриваем телекоммуникационную сеть, имеющую две станции. Матрица предлагаемой нагрузки имеет следующий вид:

	1	2	Total
1	10	20	30
2	30	40	70
Total	40	60	100

Прогноз для полного значения нагрузки, отображающий начальную и конечную нагрузку для каждой станции, показан в этой матрице:

	1	2	Total
1			45
2			105
Total	50	100	150

Задача состоит в том, чтобы оценить отдельные значения матрицы посредством метод метода двойного коэффициента.

Итерация 1. Коррекция суммы строки. Мы умножаем первую строку на 45/30, а вторую строку — на 105/70.

	1	2	Total
1	15	30	45
2	45	60	105
Total	60	90	150

Суммы строк теперь правильны, т.е. удовлетворяют значениям про­гноза, но суммы столбцов не совпадают с заданными значениями.

Итерация 2. Коррекция суммы столбца.

Умножаем значения первого столбца исходной матрицы на 50/60, а второго столбца - на 100/90.

	1	2	Total
1	12.50	33.33	45.83
2	37.50	66.67	104.17
Total	50.00	100.00	150.00

Мы теперь имеем правильные суммы столбца, тогда как суммы стро­ки немного отклоняются. Мы продолжаем, поочередно регулируя суммы столбцов и строк.

Итерация 3.

Умножаем элементы первой строки на 45/45,83, а элементы второй строки — на 105/104,17.

Мы теперь имеем правильные суммы строки, в то время как суммы столбца немного отклоняются от желательных значений. Мы продолжа­ем, поочередно корректировку сумм столбцов и строк:

	1	2	Total
1	12.27	32.73	45.00
2	37.80	67.20	105.00
Total	50.07	99.93	150.00

Итерация 4.

Умножаем значения первого столбца исходной матрицы на 50/50,07, а второго столбца — на 100/99,93:

	1	2	Total
1	12.25	32.75	45.00
2	37.75	67.25	105.00
Total	50.00	100.00	150.00

После того, как выполнены четыре итерации, суммы и строк и столбцов приближаются (в данном случае совпадают) к прогнозируемым числам. Есть другие методы для оценки будущих отдельных значений нагрузки Aij, но метод двойных коэффициентов Круитгофа имеет некото­рые важные свойства (Нести, 1988 [5]).

• Уникальность. Для заданного прогноза существует только одно решение.

• Обратимость. Финальная матрица может быть полностью приведена к начальной матрице с помощью той же самой процедуры.

• Транзитивность. Финальная матрица — та же самая независимо от того, получена ли она с помощью одного шага или с помощью ряда промежуточных преобразований (например, один 5-летний прогноз или пять 1-летних прогнозов дают одинаковый результат).

• Постоянство результата не зависит от нумерации станций. Мы можем изменить нумерацию станций в матрице, не влияя на конеч­ный результат.

• Разбиение и объединение. Отдельные станции могут быть разбиты на подстанции или объединены в большие станции, не влияя на резуль­таты расчетов. Это свойство для метода двойных коэффициентов Круитгофа не выполняется точно, но отклонения достаточно малы.