Пример 8.5.2: Ограниченное число источников

Можно оценить влияние ограничения числа источников, рассма­тривая либо потери по времени, либо потери по вызовам, либо потери по нагрузке. Значения потерь показаны на рис. 8.6 для фиксированного числа каналов п, фиксированной предложенной нагрузки А и увеличи­вающегося значения пиковости Z, соответствующего множеству источни­ков S, который определяется как S = 4/( 1-Z) (8.23).

Предложенная нагрузка определяется как нагрузка, которую можно обслужить в системе при отсутствии блокировки (п=1). Здесь

Z= 1 соответствует Пуассоновскому потоку вызовов (В-формула Эрланга, Е=В=С). Для Z< 1 мы получаем модель Энгсета, и для этого случая потери по времени Е являются больше, чем потери по вызовам В которые, в свою очередь, являются больше, чем потери по нагрузке С. Для Z> 1 мы получаем модель Паскаля (секции 8.6 и 8.7 и пример 8.7.1).

3. Распределение Паскаля (отрицательное биноминально е распределение)

В биноминальной модели интенсивность прибытия уменьшает­ся линейно с увеличивающимся числом занятых источников. Пальма и Вальстром ввели модель, где интенсивность прибытия увеличива­ется линейно с числом занятых источников (Wallstrom, 1964 [100]). Интенсивность прибытия в состоянии / равна:

yi=y(S+i), 0 < / < п, (8.59)

где у и S — положительные константы. Время пребывания в системе все еще принимается экспоненциально распределенным с интенсивностью ц.

В этой секции примем, что число каналов бесконечно. Мы составля­ем диаграмму переходов состояний (рис. 8.5 с и равным бесконечности) и находим устойчивые вероятности состояния, которые существуют толь­ко для у<|х.

Мы получаем вероятности состояния:

ц) ’ ^0£,<со' ^т<“' ^<8'^60>

где

(-/b-'fT¹)- ^<8-^б1)

Формула (8.60) — отрицательное биноминальное распределение, также называемое распределением Паскаля (таблица 6.1). Характеристики нагрузки этой модели получены соответствующей подстановкой пара­метров биноминального распределения. С этим распределением мы встретимся в следующей секции, которая имеет дело с более реальным случаем.

4. Усеченное распределение Паскаля

Мы рассматриваем тот же самый процесс и тип нагрузки, как в сек­ции 8.6, но теперь ограничим число обслуживающих приборов конечным числом п. Ограничение у < ц более не нужно, так как мы всегда будем получать статистическое равновесие с конечным числом состояний. Диаграмма переходов состояний показана на рис. 8.5, и вероятности состояния равны:

Это усеченное отрицательное биноминальное распределение (Паскалевское). Формально оно получено из Бернулли/Энгсета с исполь­зованием следующих подстановок:

S заменено на (-S) (8.63)

у заменено на (- у) (8.64)

С этими подстановками все формулы модели Бернулли/Энгсета спра­ведливы для усеченного распределения Паскаля, и для числовой оценки могут быть использованы те же самые компьютерные программы.

Можно показать, что вероятности состояния (8.62), подобно веро­ятностям состояния для систем с потерями Эрланга и Энгсета, справед­ливы для произвольного распределения времени пребывания в системе (Iversen, 1980 [38]).

Если принять экспоненциально распределенные времена пребыва­ния в системе, эта модель имеет те же самые вероятности состояния как первая нормальная форма Пальма. То есть система с Пуассоновским пото­ком вызовов имеет случайно распределенную интенсивность, как и гамма- распределение (интервалы поступления) становится распределенным по Парето. Такое распределение является медленно убывающим распределе­нием. Эта модель используется для того, чтобы моделировать потерянную нагрузку, которая имеет пиковость больше единицы. Таким образом, мы получаем из (8.21) с помощью вышеупомянутой подстановки (8.64):

1 Y

Z= —— > 1, р=Ь<!

1-0 И (8.65)

Это усеченное отрицательное биноминальное распределение (Паскалевское). Напомним, что формально пиковость потока нагрузки вычисляется для бесконечного числа каналов. Для модели Паскаля мы получаем (см. (8.49)):

C«„y(P) > В _л„у(Р) > Е_n!s($) ■ (8.66)

S у (S+l)y (S+i) у (»У+я-1)у

Рисунок 8.5. Диаграмма переходов состояний для модели Паскаля (усеченная отрицательная биноминальная модель)

Пример 8.7.1: Пиковость: числовой пример

На рис. 8.6 мы принимаем число каналов п и при фиксированной предложенной нагрузке вычисляем вероятности блокировки, чтобы уве­личить пиковость Z. Для Z> 1 мы получаем модель Паскаля. Для этого случая потери по времени Е — меньше, чем потери по вызовам В, которые, в свою очередь, меньше, чем потери по нагрузке С.

Мы видим, что потери по времени и потери по вызовам имеют мак­симальное значение. Только потери по нагрузке дает разумное описание рабочих характеристик системы.

Пример 8.7.2: система с потерями Паскаля

Рассмотрим систему с потерями Паскаля с п=4 каналами и S=2 источниками. Интенсивность поступления у=1/3 вызовов/ в единицу времени на свободный источник, и среднее время пребывания в системе (Vjj.) - одна (1) единица времени. Мы находим следующие параметры для модели Энгсета, предположив, что S--2 (8.63) и = -1/3 (8.64):

1

3 ’

a =

Р _ 1

1. + р 2’

{4}=

1 Эрл.

А = S-a=~ 2-

Z =

1+Р 1-j 2

i	У (0	ц(0	9(0	р(0	i •p(i)	у (0 •р(0
0	0.6667	0	1.0000	0.4525	0.0000	0.3017
1	1.0000	1	0.6667	0.3017	0.3017	0.3017
2	1.3333	2	0.3333	0.1508	0.3017	0.2011
3	1.6667	3	0.1481	0.0670	0.2011	0.1117
4	2.0000	4	0.0617	0.0279	0.1117	0.0559
Total			2.2099	1.0000	0.9162	0.9721

0-10

Из диаграммы переходов состояний мы получаем следующие параметры:

Вероятность потерь (%)

Пиковость Z

Рисунок 8.6. Потери по времени Е, потери по вызовам В и потери по нагрузке С как функция пиковости Z для 5РР-нагрузки в системе с п=20 пучками каналов и предложенной нагрузкой 15 Эрл. Подробные комментарии даются в примерах 8.5.2 и 8.7.1. Для приложений самой важной характеристикой являются потери по нагрузке С, так как это почти линейная функция пиковости

Мы находим следующие вероятности блокировки.

Потери по времени:

Е₄,-2 (-j) = Р(4) = 0.0279.

Потери по нагрузке:

_C4,_₂(_!).-I ₌ !^,₀₈₃,