•р

^у

п

адр) =

(8.27)

Этот результат можно интерпретировать следующим образом. Вероятность того, что попытка вызова от случайного источника (абонен­та) будет отклонена, равна вероятности того, что остальные (S-\) источ­ники заняли все п каналов. Это называется теоремой поступления, и можно показать, что она справедлива для систем с явными потерями и для систем с ожиданием и ограниченным числом источников. Результат основан на вычислении произведения среди источников и свертывании источников. Поскольку Е увеличивается, когда увеличивается S, мы имеем:

5„,ЛР)= £_Л)5-1(Р)<£_я>ИР).

Теорема 8.1. Теорема поступления: Для всех систем с ограниченным числом источников, случайный источник при поступление заявки будет наблюдать состояние системы так, как будто сам источник не принадле­жит этой системе.

Свойство PASTA включено в этот случай, потому что бесконечное число источников минус один есть бесконечное число.

П

Y

П

Обслуженная нагрузка: применяя уравнение сечения между состоя­нием [ i - 1 ] и состоянием [ i], мы получаем:

(8.28)

/=0

п

£1 .(£_ _/+1) ._p{i- 1)

(8.29)

Yj p-(j- i)-p(о - р-(*у- п)-р(п),

• (8.30)

  = p. (S- Y)-р-(S-п) • Е,

поскольку Е = Е_п, S (Р) = р(п). Последнее уравнение решается относи­тельно Y:

Y= j^-{S-(S-n)-E) . (8.31)

Потери по нагрузке С - C_nS(A). Это самая важная характеристика потерь. Предложенная нагрузка дается в (8.20), и мы получаем:

С =

А - Y А

S/i (3

■{S- (S-п) • Е)

1 + р 1 + р

.Sp 1 + Р

С = --Е. (8.32)

Мы можем также найти обслуженную нагрузку, если знаем потери по вызовам В. Число попыток принятия вызовов от источника, который находится в свободном состоянии, в среднем Уув единицу времени пре­жде, чем источник сгенерирует одну попытку вызова - 1(1-6), и каждый принятый вызов имеет среднюю продолжительность 1/ц- Таким образом, обслуженная нагрузка на один источник есть соотношение времени: когда источник является занятым, она будет:

_у= V-Wp

1/7 + (1 - В)/)х '

Полная обслуженная нагрузка будет:

Приравнивая эти два выражения для обслуженной нагрузки (8.31) и (8.33), мы получаем следующее отношение между ЕиВ:

Е = — . (8.34)

S-n 1+0(1 -В) ^{v ;}

Число попыток вызова в единицу времени:

П

А = ^p(i)-(S- /) у

i=0

А = (S - Y)-y, (8-35)

где Y — обслуженная нагрузка (8.28). Таким образом, из уравнения (S- Y) среднее число свободных источников является очевидным. Исторически, полная предложенная нагрузка была определена как Это, однако, вводит в заблуждение, потому что мы не можем принять, что каждая повторная попытка вызова имеет среднее время пребывания в системе, равное 1/ju. • Это определение создает большое неудобство, потому что пред­ложенная нагрузка по этому определению зависит от состояния системы (числа занятых каналов). Также возможно, что немногие из доступных обслуживающих много попыток вызова устройств блокированы, а свобод­ные источники с более высоким средним временем поступления вызовов генерируют больше попыток вызова в единицу времени.

Потерянная нагрузка:

А_е = А-С

Р S-n _Г

S

₌ ft?" ._Е (8.36)

1+ р

Продолжительность состояния /. Оно является экспоненциально рас­пределенным с интенсивностью:

у (/) = (S - /') • у + i • ц, 0 < / < п, 1

\ (8.37)

у (л) = лц, i = п. J

Функция увеличения:

f„,s(A)= Y„+i - Y„. (8 38)

Выше мы определили вероятности состоянияp(i), согласно предполо­жению о статистическом равновесии, как часть времени, которое система находится в состоянии г, то есть как математическое ожидание времени. Мы можем также исследовать, как выглядит система, когда выполняет­ся равновесие между поступлением и возвратом вызова отправляющим

источником (пользователем) (математическое ожидание вызова). Если мы рассматриваем одну единицу времени то, в среднем, в системе будет (S-i) jp(i) источников в состоянии [/] перед моментом поступления вызо­ва, и если вызов принят, то он переведёт систему в состояние [/+1].

Источники, которые наблюдают систему в состоянии п, блокирова­ны или остаются свободными. Поэтому источники, от которых поступает вызов прибытия, наблюдают систему в состоянии [/'] с вероятностью:

n„_Atm= . / = 0,1...... <8.39)

Ё (^s~J')y ’р0)

;=о

Используя метод аналогового дифференцирования выражения

27. , мы можем показать, что в соответствии с теоремой поступления (теорема 8.1) мы имеем:

л_и,5',р(0 = Pn,s-\,p(i~ 1), / = 0,1,...,и. (8.40)

Когда источник оставляет систему, система находится в состоянии [/-1] с вероятностью:

У„А_Р(/-1) = п^1Ц‘^Р(1) , /=1,2,...,/!. (8.41)

YjJv 'р0)

/=1

Применяя уравнения сечения, мы немедленно убеждаемся, что это соотношение идентично (8.39), если включить в рассмотрение блокирован­ных абонентов. Таким образом, источники покидают систему в том же самом состоянии, в котором они в нее прибывают. Процесс будет обратим и нечув­ствителен к распределению времени обслуживания. Если бы мы непрерывно наблюдали состояние системы, то не могли бы определить, выполняется ли время прямое действие (вызов) или обратный (выход из системы).

1. Отношения между е, в и с

Из (8.34) мы получаем следующее отношение между Е ~ E_nS (р) и

в= B„,s№= E_n,s-№-

^Е- sh ■ .Тр^гт, ! = ^{<¹⁺»-Н' ^<8-^42>

„ {S- п)-Е- (1+ (3) 1 1 Г S 1 , „1 _/0

^в= SHS-nl-E-р ^ИЛИ 5= ⁽⁸'⁴³>

Выражения с правой стороны линейны по отношению к вероятно­стям блокировки. В (8.32) мы получили следующее простое отношение между С и Е:

С = ‘ Е, (8.44)

Е = — ■ С. (8.45)

S - п

Если мы в (8.44) подставим Е, выраженное через (8.42), то мы полу­чаем С, выраженное через В\

^В (8.46)

1 + р-(1- ву

В = <1±Ш. (8.47)

1 + р С

Это отношение между В и С является общим и может также быть получено следующим образом. Обслуженная нагрузка У соответствует (У*|х) принятых попыток вызова в единицу времени. Среднее число свободных источников - (Л^--К), так что среднее число попыток вызова в единицу времени - (S-Y)j (8.35).

Потери по вызовам тогда равны:

_{в =} (S- Y)у- У-ц

(S- Y)у

(S- У)Р - У (S- Y) р •

По определению У= (1- С), и из (8.20) имеем 5=А(1 + р)/р. Подставляя это выражение, мы имеем:

₌ Л(1 + Р)-Л(1- С)Р-Л(1- С)

Л(1 + р)-Л(1-С)р

о _ а + Р)с ⁸ ~ TTW

Из последнего уравнения видно, что для малых значений потерь по вызовам В потери по нагрузке Z в несколько раз больше, чем потери по вызовам:

C*j!j = Z.5. (8.48)

2. Расчеты по формуле Энгсета

Если мы пробуем вычислить числовые значения непосредственно по формуле Энгсета из (8.26) (потери по времени Е), то возникают проблемы расчета для больших значений Sun. Ниже мы получим различные рекур­сивные формулы для Е и для его обратной величины I = '/£. Когда потери по времени Е известны, можно просто получить потери по вызовам В и потери по нагрузке С, используя формулы (8.43) и (8.44). В числовой форме также просто найти любой из этих четырех параметров S, (3, п, Е, когда мы знаем три из них. Математически мы можем предположить, что п и S не являются целыми числами.

1. Рекурсивная формула для п

Из общей, рекурсивной формулы (7.27) для п, используя Х_х = (S-x)y и Р = V\i, мы получаем

£*,ИР)

—

ЦЦг’^Е*~ ^(Р)

1 + Р)'

F m - 0?-* ⁺ 1)Р-Дг-1„у(Р) р .ост

£«*<(» - * + ₍j-*+i)p..e,__uo)- <⁸-⁵⁰>

Используя обратную формулу потерь по времени 7 _S(P) = Уе ₅(3), мы находим рекурсивную формулу:

4,5(Р) = 1 + _(ty—/»-ЫР), 4j(P) = 1. (8-⁵¹)

Число итераций равно п. Обе формулы (8.50) и (8.51) аналитически точны и представляют собой устойчивые при приближенных вычислениях и точные рекурсии для растущих значений х Однако для уменьшающихся значений х числовые ошибки накапливаются и рекурсии недостоверны.

2. Рекурсивная формула по s

Обозначим нормализованные вероятности состояния системы с я каналами и 5—1 источниками р_п Мы получаем вероятности состояния системы с 5 источниками и я каналами, сочетая эти вероятности состояния с вероятностями состояния одиночного источника, которые обозначаются {/?, ,(0) = 1 - a, p_t ,(1) = а}. Мы тогда получим состояние от нуля до и + 1, ограничиваем пространство состояний до и и нормализуем вероятности состояния (см. пример 3.2.1) (принимая, чтор(х) = 0, когда х< 0):

q_n,s(i) = (l-a)'Pn,s-i(i) + a’p_n,_s-i(i-l), /=0,1,...,п. (g ₅₂)

Полученные вероятности состояния q_{n s}(i) не нормализованы, потому что мы ограничиваем состояния числом [я] и исключаем последние эле­менты, начиная с состояния [n+l],q_{n s}(n+l)=a 'р_{п 5}_,(я). Нормализованная вероятность состояния р_{п s}(i) для системы с 5 источниками и я каналами, таким образом, получается из нормализованной вероятности состояния p„ _s^(i) для системы с 5-1 источником:

Р*М0 = -^п——-, i = Q,\,...,n. (8.53)

1. - а • p„_iS-i(n)

Потери по времени Е_{п S}(P) для системы с 5 источниками могут быть выражены потерями по времени Е_{п w} (Р) для системы с 5-1 источниками. Подставляя (8.52) в (8.53), получаем:

E_n,s( Р) = p„,s(n)

₌ (1- а) •p„,s-\(n) + q -p_nrS-\(n-1)

1- a-p_ntS-\in)

(l-e)-^-,(P) + fl-^5^y^_(J-i(P)

1- а-Е^чф) ’

где мы использовали уравнение равновесия между состоянием [я -1, 5-1 ] и состоянием [я, 5-1]. Заменяя а на(8.8), мы получаем:

E_n,s-xW)+ c^£„,_S-i(P)

*•*<» i + n-SuU) •

Таким образом, получаем следующую рекурсивную формулу.

Д*№>-^Т₊»'п^(го- ■^S>"' ^£'"^№)=“" ⁽⁸'⁵⁵>

Начальное значение получено от (8.12). Находим обратное значение вероятности блокировки I = Ур

Л,ИР) = 5^)• {V-i(P)-«}> 1_п,пФ) = а~^п (8.56)

Для того чтобы увеличить 5, нужно, чтобы число итераций было S'-и. Однако числовые ошибки накапливаются из-за умножения с (S/(S-n))> таких умножений больше чем одно, и применимость этой формулы огра­ничена. Поэтому рекомендуют использовать рекурсию (8.58), приведен­ную в следующей секции, для того, чтобы увеличить S. Чтобы уменьшить S, вышеупомянутая формула аналитически точна и в числовой форме устойчива. Однако начальное значение должно быть известно заранее.