Пример 7.5.2: Вычисление ех(а) для большого х

Применяя рекурсию, (7.30) мы находим:

т . .. , X X(X-1) Х\

1_Х(А) = 1₊_₊__р_₊...+ _,

Это выражение является обратной вероятностью блокировки В-формулы. При больших значениях х эта формула может быть примене­на для быстрого вычисления В-формулы, потому что мы можем ограни­чить сумму, когда ее элементы становятся очень маленькими.

3. Принципы измерения нагрузки

Когда измеряется нагрузка системы обслуживания, необходимо обе­спечить баланс требований уровня обслуживания и экономических огра­ничений. В этой лекции мы увидим, как это может быть сделано.

В системах телекоммуникации есть несколько показателей, которые характеризуют обслуживание. Самый объемный показатель — Качество обслуживания (QoS). Он включает все аспекты соединения, такие, как качество речи, задержка информации, потери, надежность и т.д. Мы рассматриваем только небольшое подмножество этих аспектов: Уровень обслуживания (GoS) или сетевые рабочие характеристики включают аспек­ты, связанные только с емкостью сети.

После публикации формулы Эрланга в 1920 были установлены функ­циональные отношения между числом каналов, предложенной нагруз-

кой и уровнем обслуживания (вероятностью блокировки). Таким обра­зом, были установлены показатели по качеству обслуживания нагрузки. Тогда существовали прямые линии между всеми станциями в области Копенгагена по группам направлений.

Если зафиксировать значение потерь нагрузки от блокировки по всем направлениям, то применение В-формулы Эрланга для слежения за нагрузкой по направлениям было бы ограниченным.

Кай Мо (Kai Мое 1893-1949), который был главным инженером Копенгагенской Телефонной Компании, сделал некоторые количествен­ные экономические оценки и издал несколько распоряжений, где он вводил критические соображения по связи коммерческих интересов и блокировок. Сегодня они известны, в математической экономике как принципы Мо. Самуэльсон (Р.А. Samuelson) позже привел подобные соображения в своей известной книге, первоначально изданной в 1947 г.

На основе работ Мо сформулированы фундаментальные принципы измерения нагрузки для телекоммуникационных системах как Принципы Мо (Jensen, 1950 [50]).

1. Измерение нагрузки с фиксированной вероятностью блокировки

Для хорошей работы система с потерями должна иметь показа­тели потерь (вероятности блокировок) на достаточно низком уровне. Практически число каналов п должно быть выбрано так, чтобы _п (А) при­близительно было 1% - это даст возможность избежать перегрузки из-за многих незаконченных вызовов и повторных попыток вызовов, которые перегружают систему и доставляют неприятности абонентам. [52]

Таблица 7.1 показывает предложенную нагрузку для фиксированной вероятности блокировки Е= 1 % при некоторых значениях п.

Таблица также дает удельное использование каналов, которое при­нимает более высокое значение для больших групп. Если мы увеличиваем предложенную нагрузку на 20% до^_] = 1,14, то замечаем увеличение веро­ятности блокировки для всех значений п, но больше всего — для больших значений п.

Общая стоимость для данного числа каналов тогда: (а) стоимость кабеля и (б) убытки из-за потерянной нагрузки (упущенный доход):

С„ = g-AE_X'„(A)+ с₀+ с-п, (7.32)

Здесь — А предложенная нагрузка, то есть потенциальный запрос на обслуживание нагрузки в рассматриваемой группе. Затраты из-за поте­рянной нагрузки уменьшаются с увеличением п, тогда как расходы из-за

кабеля увеличиваются с увеличением п. Общая стоимость может иметь минимум для некоторого значения п. Практически п - целое число, и мы ищем значение и, для которого имеем (см. рис. 7.6):

С„-1 >С„ и С„< С„+1 .

Таблица 7.1. Верхняя часть показывает предложенную нагрузку А, удельное использование каналов в направлении - а и функцию уве­личения — F_ln (А) (7.16) для фиксированного значения вероятности блокировки Ё= 1% и п каналов в направлении. Нижняя часть пока­зывает значения Е, а и F_{x п}(А), полученные при повышении нагрузки на 20%

п	1	2	5	10	20	50	100
А (Е = 1%) а F\,n (А)	0.010 0.010 0.000	0.153 0.076 0.001	1.361 0.269 0.011	4.461 0.442 0.027	12.031 0.596 0.052	37.901 0.750 0.099	84.064 0.832 0.147
Ai = l.2-A Е [%] а F\,n (A i)	0.012 1.198 0.012 0.000	0.183 1.396 0.090 0.002	1.633 1.903 0.320 0.023	5.353 2.575 0.522 0.072	14.437 3.640 0.696 0.173	45.482 5.848 0.856 0.405	100.877 8.077 0.927 0.617

Таблица 7.2. Для фиксированного значения функции увеличения мы вычислили те же самые значения, как в таблице 7.1

и	1	2	5	10	20	50	100
А (FB =0.05) а Е\,п (А) [%]	0.271 0.213 21.29	0.607 0.272 10.28	2.009 0.387 3.72	4.991 0.490 1.82	11.98 0.593 0.97	35.80 0.713 0.47	78.73 0.785 0.29
А, = 1.2-Л Е{%} а F\,n (^i)	0.325 24.51 0.245 0.067	0.728 13.30 0.316 0.074	2.411 6.32 0.452 0.093	5.989 4.28 0.573 0.120	14.38 3.55 0.693 0.169	42.96 3.73 0.827 0.294	94.476 4.62 0.901 0.452

(7.33)

(7.34)

(7.35)

25

20

15

10

5

0 10 20 30 40 50 60

Номера каналов п

Рисунок 7.6 Общая стоимость состоит из затрат на кабель и упу­щенного дохода из-за блокировок нагрузки (7.32). Минимум общей стоимости получается, когда выполняется неравенство (7.33), то есть когда две функции стоимости имеют тот же самый наклон с противо­положными знаками (квант приращения). (F_g = 0,35, А = 25 Эрл). Минимум получен для п = 30 каналов

0

При Е_{{ п} (А) = Е_п(А) мы имеем А{Е_П-М)~ Е_п(А)} > -> А{Е_П{А)~ Е_я+М)) ,

g

F_hn-M)>F_B > F_hn{A),

где

с стоимость увеличения на канал

t_B ~ — ~ .

g доход увеличения на канал

/^называется значением выигрыша. Заметим, что с_д не входит в усло­вие минимума. Это значение определяет, выгодно ли передавать нагрузку