2. Расчет по в-формуле Эрланга

Для вычислений формула (7.10) не является удобной: и! увеличива­ется так быстро, что в компьютере возникает перегрузка. Если мы при­меним (7.27), то получим рекурсивную формулу:

<⁷-»>

С числовой точки зрения, линейная форма (7.28) самая устойчивая:

/,М) = 1+ j'I_x-i(A), /₀(А) = 1, (7.30)

где 1_л(А) = 1 /Е_п(А). Эта рекурсивная формула точна, и даже для больших значений (п, А) нет ошибок округления. Это - основная формула для многочисленных таблиц В-формул Эрланга и так называемых классиче­ских таблиц (Пальма, 1947 [81]). Для очень больших значений и есть более эффективные алгоритмы. Заметим, что рекурсивная формула, которая является точной при увеличении индекса, обычно неточна при уменьше­нии индекса, и наоборот.

Пример 7.5.1: Эрланговская система с потерями

Мы рассматриваем Эрланговскую систему с потерями f п = 6 кана­лами, интенсивностью поступления вызовов X = 2 в единицу времени и интенсивностью освобождения ц = 1 в единицу времени отклонения так, чтобы предложенная нагрузка была А = 2 Эрл. Если мы обозначим ненор­мализованную вероятность относительного состояния q(i), то получим диаграмму перехода состояния, которая схематически изображает значе­ния, показанные в следующей таблице:

i	МО	йО)	?(0	Р(0	i-p(i)	l(i)-p(i)
0	2	0	1.0000	0.1360	0.0000	0.2719
1	2	1	2.0000	0.2719	0.2719	0.5438
2	2	2	2.0000	0.2719	0.5438	0.5438
3	2	3	1.3333	0.1813	0.5438	0.3625
4	2	4	0.6667	0.0906	0.3625	0.1813
5	2	5	0.2667	0.0363	0.1813	0.0725
6	2	6	0.0889	0.0121	0.0725	0.0242
Total			7.3556	1.0000	1.9758	2.0000

Мы получаем следующие вероятности блокировки:

Потери по времени Е(,(2) = р(6) = О.0121.

А - У 2-1 9758

Потери по нагрузке Сб(2) = —= = 0.0121.

А 2

Потери по вызовам 5₆(2)={Ц6)-р(6)у^|£х(г)-р(г)|=^^=0.0121.

Отметим, что Е = В = С из-за свойства PASTA (Poisson Arrival See Time Average — Пуассоновское поступление вызовов, наблюдаемое за среднее время).

Применяя рекурсивную формулу (7.29), мы, конечно, получаем те же самые результаты

До(2) = 1 ,

2-1 2 ^£l(2) * ТТУТТ'Т-

Ег(2)

2 • f _ 2 2+2“Т'

2j__ 4

3 + 2	2 " ’ 5	19 ’
2-	4 19	2
4 + 2	4 ’ 19	21 '
2-	2 21	4
5 + 2	2 '21	109 ’
2-	4 109	4
6 + 2	4 ' 109	331

Ег(2)

£₄(2)

Е₅(2)

• ТГ2^=з5Г = ^{0 0121} ■