1. Рекурсивная формула

Если значения q(i) становятся очень большими (например, 10¹⁰), то мы можем умножить все д (/) на одну и ту константу (например, 10~^WJ , так как знаем, что все значения вероятностей находятся в пределах интервала [0, 1J. Этим способом мы избегаем проблем вычисления. Если значения q(i) становятся очень маленькими, мы можем усечь пространство состоя­ний, так как плотность распределения p(i) часто имеет колоколообразный вид a (unimodal - «унимодальный») и поэтому имеет максимум. Во многих случаях мы, теоретически, способны контролировать ошибку, вносимую усечением пространства состояний (Степанов, 1989 [94]).

Мы можем нормализовать вероятности состояний после каждого шага, который требует больших вычислений, но гарантирует высокую точ­ность. Нормализуем вероятности состояний для системы с х-1 каналами:

Рх-i = {p,r-i(x- 1), p_x-i{x-2), i(0)}, х = 1,2,, (7.22)

где индекс (х-1) указывает, что это вероятности состояния для системы с (х-1) каналом. Предположим, что мы имеем следующую рекурсию для д_х(х), заданную некоторой функцией от предыдущих вероятностей состояний:

Ях(х) = f{p_x-\(x-I), Px-\(x-2),...,p_x-i(Q)}, x =1,2,..., (7.23)

где q(x) будет относительной вероятностью состояния. Предположим, что мы знаем нормализованные вероятности состояний для (х-1) каналов

22. и хотим найти нормализованные вероятности состояния для системы с х каналами. Относительные значения вероятностей состояния не изменя­ются, когда мы увеличиваем число каналов на один, тогда получаем:

&(/)=r*"^l(0, * МД...,* 1, ₍₇₂₄₎

Новая константа нормализации получается:

X

Qx= £&(») = 1+ &(*),

i=О

так как мы на предыдущем шаге нормализовали сумму вероятностей состояний в пределах от 0 к х-1 и, увеличивая их на единицу, получаем:

^А~^,(/) i = 0,1,2,1,

^авд

1+&(*)’ ^{f Х}'

В начале процесса рекурсии присваивается значение /?₀(0)=1. Алгоритм рекурсии начинается с этого значения и находит вероятности состояния системы с одним каналом больше (7.24) и (7.25). Рекурсия в цифровой форме очень устойчива, потому что мы в (7.25) делим на число, большее единицы.

Рассмотрим простой процесс гибели и размножения с интенсивностью поступления X. и скоростью выхода из состояния /|1 в состоянии /. Тогда q_x(x) зависит только от вероятности предыдущего состояния. Используя уравнение сечения, мы получаем следующую формулу рекурсии:

&(*)= \(х- 1). (7.26)

хц

Потери по времени для х каналов - EJA) = р_х(х). Подставляя (7.26) в (7.25), получаем простую рекурсивную формулу для потерь по времени:

Е_х = ^Е, Е₀ = 1. (7.27)

1+<1х(х) 1 ⁺ -^'Ех-1

Находя инверсию вероятности потерь по времени 1х = Е~‘, мы получаем:

= 1 + ^lL./^, /₀ = 1. (7.28)

^Х~\

Это общая рекурсивная формула для вычисления потерь по времени для всех систем с интенсивностью поступления состояния X. и однород­ными обслуживающими приборами.

Пример 7.4.1: Вычисление вероятностей Пуассоновского распределения

Если мы хотим вычислить Пуассоновское распределение (7.6) для очень больших средних величин m_t = А ~ тогда полезно предполо­жить, что q{m) = 1, где m равен целой части от (m, + 1). Относительные значения q(i) для уменьшающихся значений (г = т-1,; т-2,..., 0) и для уве­личивающихся значений (г = т+1, т+2,...) будет тогда уменьшаться, и мы можем остановить вычисления, когда, например, q(i) < 1 (У²⁰ и, наконец, нормализуют q (i). Практически не будет никаких проблем нормализовать вероятности. Более строгий подход состоит в том, чтобы использовать вышеупомянутую формулу рекурсии.