Лекция 4. Распределение моментов поступления вызовов

Экспоненциальное распределение — самое важное распределение вре­мени в теории телетрафика. В этой лекции мы обсуждаем такое распределе­ние в секции 4.1. Комбинируя экспоненциальные распределенные временные интервалы последовательно, мы получаем класс распределений, названных распределениями Эрланга (секция 4.2). Комбинируя их параллельно, полу­чаем гиперэкспоненциальное распределение (секция 4.3). Комбинируя экс­поненциальные распределения и последовательно и параллельно, возможно, с информацией обратной связи, получаем распределения фазового типа, которые являются классом общих распределений. Один важный подкласс распределений фазового типа — распределения Кокса, которые рассматри­ваются в секции 4.4. Обратим внимание, что произвольное распределение может быть выражено распределением Кокса, которое относительно просто может использоваться в аналитических моделях. Наконец, мы также имеем дело с другими распределениями времени, которые используются в теории телетрафика (секция 4.5). Некоторые примеры наблюдений за временем жизни представлены в секции 4.6.

1. Экспоненциальное распределение

В теории телетрафика это распределение также называется отрицатель­ным экспоненциальным распределением. Оно было уже упомянуто в секции

2. и снова будет применяться в секции 6.2.1. В принципе, мы можем использовать любую функцию распределения с неотрицательными значе­ниями, чтобы моделировать время «жизни». Однако экспоненциальное рас­пределение имеет некоторые уникальные характеристики, которые имеют аналитическое и практическое использование. Экспоненциальное распреде­ление играет ключевую роль среди всех распределений времени «жизни».

Это распределение характеризуется единственным параметром - интенсивностью или скоростью X:

(4.1)

F(t) = 1- е~^х' , 1> 0, t> О

(4.2)

/(f) = Яе ¹¹, Х> О, t> 0.

Гамма-функция определена как:

ОО

ОО

(4.3)

Г (и + 1) = J t" е ' d t = п\.

о

Мы заменяем t на Xt и получаем v-й момент v!

т

(4.4)

Средняя величина:

Ш —■ YYI \ — ',

Второй момент:

2

^— ’

Дисперсия:

Коэффициент формы:

е = 2,

Рисунок 4.1. В диаграммах состояния экспоненциально распреде­ленный временной интервал изображают как блок с определенной интенсивностью. Блок означает, что клиент, прибывающий в него, задерживается перед тем, как покинуть блок, на экспоненциально распределенный временной интервал

Экспоненциальное распределение очень подходит для описания физических временных интервалов (рис. 6.2).

Самая фундаментальная характеристика экспоненциального распре­деления — отсутствие памяти.

Распределение остатка времени соединения связи не зависит от фак­тической продолжительности этого соединения и равно распределению всего времени «жизни» (3.11):

}.х

/(/+ х\х) =

-It

= Я.е = fit) ■

Если мы удаляем множество вероятностей в интервале (0, х) из функции плотности и нормализуем остававшееся множество в интервале (х, 1) к единице, тогда новая функция плотности становится конгруэнт­ной (сравнимой) с первоначальной функцией плотности. Единственная непрерывная функция распределения, имеющая это свойство — экспо­ненциальное распределение, а дискретное распределение, обладающее этим свойством — геометрическое распределение.

Например, на рис. 3.1 показано распределение Вейбулла, где это свойство не справедливо. Для к = 1 распределение Вейбулла становится идентичным экспоненциальному распределению. Поэтому средняя вели­чина остаточного времени «жизни» — да, _г = т,и вероятность существова­ния «жизни» в интервале (t, t+dt), при условии, что она возникает после момента t, будет:

p{t<X< t + dt\X>t}=*

1. - F(t)

= Id t. (4.5)

Таким образом, вероятность существования «жизни» в интервале времени (t, t+ dr) зависит только от А, и dt, но не зависит от фактического возраста (О-