Пример 3.3.3: Стохастические суммы

Возьмем пример, не относящийся к телетрафику. N будет обозна­чать число ливневых дождей в течение одного месяца, а Т.— обозначать количество осадков одного i-того ливня. S_T тогда — случайная перемен­ная, описывающая полное количество осадков в течение месяца.

N может также означать для данного временного интервала число несчастных случаев, зарегистрированных страховой компанией, а Г - компенсацию за i-u несчастный случай. S_rтогда — общая сумма, заплачен­ная компанией в течение рассмотренного периода.

Краткие итоги

• Все временные интервалы, поступления и обслуживания вызо­вов (времена блокировки, времена занятости, время занятия Центрального процессора (CPU)) могут быть выражены неотрица­тельными случайными переменными.

• Временной интервал может быть описан случайной переменной Т, которая может быть охарактеризована функцией распределения F(t).

• Обычно мы принимаем, что время обслуживания является независи­мым от времени момента поступления вызова, и что время обслужи­вания не зависит от времен обслуживания других вызовов.

• Распределение обычно однозначно определяется всеми его момен­тами. Средняя величина (математическое ожидание) — это первый момент. Дисперсия — 2-ой центральный момент

• Мера нерегулярности функции распределения определяется также отклонением распределения от средней величины - коэффициентом вариации, коэффициентом формы Пальма.

• Фундаментальная характеристика показательного (экспоненциаль­ного) распределения называется Марковским или свойством без последействия (при отсутствии памяти (возраста)) — время жизни не зависит от момента поступления заявки.

• Если мы распределяем коэффициент веса времени «жизни» пропор­ционально его продолжительности, то средний вес всех временных интервалов становится равным средней величине.

• Времена обслуживания большого числа вызовов составляют малую долю полной нагрузки (правило Вильфредо Парето). Этот факт можно использовать и предоставлять приоритет коротким задачам без большой задержки более длинных задач.

• Остаток времени «жизни», отсчитываемый от случайной точки вре­мени, называется прямым временем возвращения.

• Если вероятность успеха в испытании (например, бросание кубика при игре в кости) равна р, вероятность отказа равняется 1 -р. Число успехов в единственном испытании тогда получается с помощью рас­пределения Бернулли.

• Средняя величина т_х . и дисперсия с² суммы параллельных случай­ных величин определяется взвешиванием / независимых случайных переменных, где i-тая переменная используется с весовым коэффи­циентом р..

• Есть два элемента стохастическая суммы, составляющие полную дисперсию: один элемент отображает, что число вызовов — случай­ная переменная (о_л²), и второй элемент - что продолжительность вызовов — случайная переменная (о²).

1 L

p‘ (1- p)^s~^i+l, что и требовалось доказать.