3. Прямое время возвращения

Остаток времени «жизни», отсчитываемый от случайной точки времени, называется прямым временем возвращения. В этой секции мы получим некоторую важную формулу. Чтобы сформулировать проблему, рассмотрим пример. Мы желаем исследовать распределение времени «жизни» различных марок автомобилей и опросить выбранных наугад автомобильных владельцев о возрасте их автомобиля. Так как точка вре­мени опроса выбрана наугад, вероятность выбора автомобиля пропорцио­нальна полному времени «жизни» автомобиля. Распределение будущего времени остатка «жизни» тогда будет идентично с уже достигнутым вре­менем «жизни».

Составляя выборку таким способом, мы увидим, что вероятность выбора автомобиля определенной марки пропорциональна времени «жизни» автомобиля, то есть мы предпочтительно выберем автомоби­ли с более длинными сроками службы (выбор, базирующийся на длине срока службы). Вероятность выбора автомобиля, имеющего полное время «жизни» х, дается с помощью приведенной ниже формулы (момент рас­пределение в статистике) (дифференцирование (3.22):

xf (x)dx

т

Так как мы рассматриваем случайную точку времени, распределение остающегося времени «жизни» будет однородно распределено в проме­жутке (0, х):

/(/|х) = 0< t < х.

Тогда функция плотности остающегося времени «жизни» в случай­ной точке времени следующая:

1 xf{x) dx

00

V(') = J

x m

m

(3.23)

^гДе F(t) — функция распределения полного времени «жизни» и т — сред­няя величина.

Применяя равенство (3.3), мы обращаем внимание, что i-й момент v(t) определяется с помощью (/+1 )-го момента/(/):

оо

m_ijV = | t‘v(t)dt

J m

о

1. 1

/Л

m,'_V = —г «ж,/. (3.24)

/ + 1 w ^J

Мы получаем среднее значение

mi.* = -?•*, (3-25)

где е является коэффициентом формы распределения «время жизни». Эта формула также действительна для дискретных распределений времени.

4. Распределениеу-тых наибольших из к случайных переменных

Предположим, что к случайных переменных^, Т._}Тк) независимы и идентично распределены с функцией распределения F(t). Распределение j-ой наибольшей переменной выглядит следующим образом:

i~^l /к\

p{j ’th largest < t) = ^ I . ) {i - F(t)}‘ F(t)^k~‘. (3.26)

/=0 W

j-1 переменных могут быть большими, чем t. Меньшие переменные (или j=k) имеют функцию распределения:

Fmi„(t) = 1 — {1 — F{t)}^k, (3.27)

и наибольшая переменная (/=1) имеет функцию распределения

F_m3X{t)= F(t)^k. (3 28)

Если случайные переменные имеют индивидуальные распределения функции F. (t), мы получаем выражение, более сложное, чем (3.26). Для наименьшей и наибольшей переменной мы добираемся так:

к

ыо = 1-Пи- Ш) , (3.29)

/=1

к

/max (0 = ПВД- (3.30)

1=1

2. Комбинация случайных переменных

Мы можем комбинировать времена «жизни» случайных процес­сов, сочетая их последовательно или параллельно либо применяя оба варианта.

1. Последовательные случайные переменные

Соединение последовательно к независимых временных интервалов соответствует сложению к независимых случайных переменных, то есть свертыванию случайных переменных.

Если мы обозначаем среднюю величину и дисперсию i-го временно­го интервала соответственно m_t с², тогда сумма случайных переменных имеет следующую среднюю величину и дисперсию: к

т = гп\ = ,i> (3-31)

i=1

ст² = ХаД (3.32)

i=i

Вообще, мы должны сложить так называемые кумулянты, или полу- варианты (cumulant), и первые три кумулянта совпадают с первыми тремя Центральными моментами.

Функция распределения суммы получена свертыванием:

F(t)= F_k(t), (3.33)

где (g) - оператор свертывания (секция. 6.2.2).