6. Приложения.
6.1. Образец решения контрольных задач типового варианта.
1.1 – 30. Вычислить
определитель:
а)
непосредственным
разложением по
строке;
б)
непосредственным
разложением по
столбцу;
Решение.
а) вычисляем
определитель разложением по элементам
первой строки:
=
.
Тогда
=
=
б)
вычисляем
определитель непосредственным разложением
по элементам второго столбца:
=
.
Тогда
=
=
.
Ответ:
.
2.1-30.
а) Найти
матрицу
,
если:
,
.
Решение:
1)
Транспонируем
матрицу
:
.
2)
Вычисляем
произведение матриц
:
.
3)
Находим
матрицу
:
.
4) Находим матрицу :
.
Ответ:
.
3.1 – 30. Дана
система уравнений:
.
Требуется:
а) найти решение системы методом Крамера; б) записать систему в матричном виде и найти её решение методом обратной матрицы; в) найти решение системы методом Гаусса.
Решение.
А) Метод Крамера.
1а) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
.
2а)
Так как
,
то система имеет единственное решение,
определяемое формулами Крамера:
3а)
Вычисляем
определители
:
,
,
.
4а)
Находим решение:
.
5а)
Выполняем
проверку:
.
Ответ:
.
Б) Метод обратной матрицы.
1б) Записываем систему уравнений в матричном виде:
или
2б) Вычисляем определитель системы и проверяем, что он отличен от нуля:
3б)
Так как
,
то матрица системы
имеет обратную матрицу
и единственное решение системы
определяется формулой:
или
4б)
Находим
обратную матрицу
(методом присоединённой матрицы):
.
Тогда
.
5б)
Находим
решение:
.
6б)
Выполняем
проверку:
.
Ответ:
.
В) Метод Гаусса.
1в) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2в) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
В
результате прямого хода матрица системы
должна быть преобразована с помощью
элементарных преобразований строк к
матрице
треугольного или трапециевидного вида
с элементами
.
Система уравнений, матрица которой
является треугольной с элементами
,
имеет единственное решение, а система
уравнений, матрица которой
является трапециевидной с элементами
,
имеет бесконечно много решений.
.
В результате
элементарных преобразований матрица
системы преобразована к специальному
виду
.
Система уравнений, матрица которой
,
является треугольной с ненулевыми
диагональными элементами
,
имеет всегда единственное решение,
которое находим, выполняя обратный ход.
Замечание.
Если при выполнение преобразования
расширенной матрицы
в преобразованной матрице
появляется строка
,
где
,
то это говорит о несовместности исходной
системы уравнений.
3в) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем
систему уравнений, соответствующую
последней расширенной матрице прямого
хода:
и последовательно из уравнений системы,
начиная с последнего, находим значения
всех неизвестных:
.
4в) Выполняем проверку: .
Ответ: .
4.1-30. Найти общее решение для каждой из данных систем методом Гаусса:
а)
.
Решение.
1а) Записываем расширенную матрицу системы:
.
2а) Выполняем прямой ход метода Гаусса.
.
Матрица
системы приведена к трапециевидному
виду с ненулевыми диагональными
элементами. Соответствующая такой
матрице система уравнений имеет
бесконечно много решений, которые
находим, выполняя обратный ход, и
записываем в виде общего решения. Для
записи общего решения указываем её
базисные и свободные неизвестные.
Базисный минор матрицы системы образуют
столбцы коэффициентов при неизвестных
и
:
.
Поэтому выбираем в качестве базисных
– неизвестные
и
,
тогда свободными будут неизвестные
и
.
3а) Выполняем обратный ход метода Гаусса.
Записываем
систему уравнений, соответствующую
последней расширенной матрице прямого
хода:
.
Свободным неизвестным придаём разные,
произвольные постоянные значения:
,
,
и последовательно из уравнений системы,
начиная с последнего, находим значения
всех базисных неизвестных:
.
Тогда
общее решение системы запишется в виде:
.