Пример 9.2.3: Иерархическая сотовая система

Мы рассматриваем иерархическую сотовую систему HCS (Hierarchical cellular system), имеющую три области покрытия. Нагрузка, предлагаемая в областях — 12, 8 и 4 Эрл. соответственно. В первых двух ячейках, мы размещаем микроячейки с 16-ью, соответственно с 8-ью каналами, и общую макроячейку, покрывающую все три области с 8-ью каналами. Перенаправляем потерянную нагрузку от микроячеек к макроячейке, но не направляем вызовы от макроячейки к микроячейкам, когда канал освобождается. Не будем рассматривать здесь нагрузку передачи соеди­нения. Используя (9.6) и (9.7), находим среднюю величину и дисперсию нагрузки, предлагаемую макроячейке:

Номер ячейки	Предложенная нагрузка	Число каналов	Средняя перегрузка	Дисперсия перегрузки	Пиковость
/	А. 1	«•(/)	т.. bJ	V. 1	Z 1
1	12	16	0,7250	1,7190	2,3711
2	8	8	1,8846	3,5596	1,888
3	4	0	4,000	4,000	1,000
Всего	24		6,6095	9,2786	1,4038

Полная нагрузка, предлагаемая макроячейке, имеет среднюю вели­чину 6,61 Эрл. и дисперсию 9,28. Это соответствует перегрузке от экви­валентной системы с 10,78 Эрл; здесь требуется 4,72 каналов. Таким образом, мы выбираем систему 12,72 каналов, с предложенной нагрузкой 10,78 Эрл. Используя В-формулу Эрланга, находим потерянную нагрузку 1,3049 Эрл. Первоначально мы предложили значение 24 Эрл., так что пол­ная вероятность блокировки нагрузки получается В = 5,437%.

Эти три области имеют отдельные вероятности блокировки. Применив (9.14), мы приблизительно находим потерянную нагрузку от областей: 0,2434 Эрл, 0,5042 Эрл, и 0,5664 Эрл, соответственно. Таким образом, вероятности блокировки нагрузки становятся 2,03%, 6,30% и 14,16%, соответственно. Компьютерное моделирование со 100 миллиона­ми вызовов выдает вероятности блокировки 1,77%, 5,2%, и 15,05%, соот­ветственно. Это соответствует полной потерянной нагрузке, равной 1,273 Эрл, и вероятности блокировки 5.30%. Точность метода этой лекции достаточна для реальных приложений.

1. Метод Фредерикса и Хэйварда

Фредерикс (1980 [29]) предложил метод эквивалентности, который более прост в использовании, чем метод Брейтшнайдера-Уилкинсона (Wilkinson-Bretschneider). Идея метода была впервые выдвинута Хэйвардом.

Метод эквивалентности Фредерикса и Хэйварда также характеризует нагрузку средней величиной А и пиковостью Z

(0<Z<°°)(Z= 0 - тривиальный случай с постоянной нагрузкой). Пиковость (7.7) - отношение между дисперсией v и средней величиной т_х вероятностей состояния, она имеет размерность [каналы]. Для случай­ной нагрузки (РСТ-1Т) мы примем Z= 1 и можем применить В-формулу Эрланга.

Для пиковости Z*1 метод Фредерикса и Хэйварда предполагает, что система имеет ту же самую вероятность блокировки, что и система из n/Z каналами с предложенной нагрузкой А/Z, и таким образом пиковость 2=1. Для последней системы мы можем применить В-формулу Эрланга, при этом следует учитывать, что В-формулу Эрланга нельзя использовать для непрерывного числа каналов.

Башарин и Куренков расширили метод, включив мультислотовую (мультискоростную) нагрузку, где вызов требует d каналов от начала и до завершения. Если вызов использует d каналов вместо одного (изменение масштаба), то средняя величина времени становится в d раз больше, и дисперсия времени больше в d² раз. Поэтому пиковость по времени ста­новится больше в d раз. Вместо того, чтобы сократить число каналов на число Z, мы можем оставить прежнее число каналов и увеличить размер слота на Z.

(л, A, Z, d) ~ (n, 1, d-Z^j ~ 1, dj . (9.18)

Если мы имеем больше потоков нагрузки, предлагаемых той же самой группе, то хорошей стратегией будет сохранить число каналов фик­сированным, но тогда мы получаем проблему, что d'Zв общем случае не будут целыми числами.

Пример 9.3.1: Метод Фредерикса и Хэйварда

Применим метод Фредерикса и Хэйварда к примеру 9.2.3. Макроячейка будет иметь (8/1,4038) каналов и предложенную нагрузку (6,6095/1,4038) Эрл. Вероятность блокировки получена из В-формулы Эрланга и равна 0,19470. Потерянная нагрузка вычислена из первона­

чально предложенной нагрузки (6,6095) и равна 1,2871 Эрл. Вероятность блокировки системы становится Е = 1,2871/24 = 5.36%. Это очень близко к результату, который мы получили (5.44%) методом ERT.

Пример 9.3.2: Мультислотовый трафик

Мы позже рассмотрим систему с интегрированным обслуживанием и мультискоростной (мультислотовой) нагрузкой. В примере 10.4.3 рассма­тривалась группа с пучком 1536 каналов, которой предлагается 24 потока нагрузки с индивидуальным размером слота и пиковостью. Полные поте­ри по нагрузке равны 5,950%. Если мы вычисляем пиковость из предло­женной нагрузки, складывая все потоки нагрузки, то находим пиковость Z = 9,8125, а полная средняя величина равняется 1536 Эрл. Результаты метода Фредерикса и Хэйварда для полной нагрузке перегрузки равняют­ся 6,114%, что является консервативной оценкой (худший случай).

1. Разбиение нагрузки

Здесь мы дадим естественную интерпретацию метода Фредерикса и Хэйварда и в то же самое время обсудим разбиение потоков нагрузки. Рассмотрим поток нагрузки со средней величиной А, дисперсией v, и пиковостью Z- v/A. Разобьем этот поток нагрузки на g идентичных под- потоков. Один из таких подпотоков тогда имеет среднюю величину A/g и пиковость Z/g, потому что средняя величина уменьшена на коэффици­ент#, а дисперсия на коэффициент g¹ (пример 3.3.2). Если мы выбираем число g подпотоков, равное Z, то получаем пиковость Z=1 для каждого подпотока.

Предположим, что первоначальный поток нагрузки поступает на п каналов. Если мы разбиваем п каналов на g подгрупп (одну для каждого подпотока), то каждая подгруппа содержит n/g каналов.

Каждая подгруппа будет тогда иметь такую же вероятность блоки­ровки, как первоначальная полная система. Выбирая g=Z, мы получаем пиковость Z=1 в подпотоках и можем (приблизительно) использовать В-формулу Эрланга для того, чтобы вычислить вероятность блокировки.

Это естественная интерпретация метода Хэйварда и Фредерикса. Она может легко быть расширена, чтобы включить мультислотовую нагрузку. Если каждый вызов требует d каналов в течение всего времени соединения то, разбивая нагрузку на d подпотоков, получим систему, где каждый вызов будет использовать единственный канал в каждой из под­групп d. Тогда мы получим d идентичных системы с нагрузкой одного- единственного слота.

Вышеупомянутое разбиение нагрузки на g идентичных потоков нагрузки показывает, что вероятность блокировки, полученная методом Фредерикса-Хэйварда — потери по нагрузке. Равное разбиение нагрузки в любой момент времени подразумевает, что все потоки нагрузки g иден­тичны и таким образом имеют взаимную корреляцию, равную единице. В действительности, мы не можем разбить нагрузку коммутации каналов на идентичные подпотоки. Если мы имеем потоки g=2, и три канала заняты в данный момент времени, то можно, например, использовать два канала в одном подпотоке и один в другом. Но, так или иначе, мы получаем то же самое оптимальное использование как в полной системе, потому что всегда будем иметь доступ к свободному каналу в любой под­группе (полная доступность). Корреляция между подпотоками становится меньше, чем единица. Вышеупомянутое положение является примером использования интеллектуальных стратегий для поддержки оптимальной полной доступности.

В секции 6.3.2 мы изучили разбиение процесса поступления вызо­вов, когда разбиение сделано случайным способом (теорема Райкова 6.2). Этим разбиением не уменьшается отклонение процесса для случаев, когда процесс — Пуассоновский процесс или более регулярный. В результате процессы подпотока сходятся к Пуассоновским процессам. В этой сек­ции мы рассмотрим разбиение процесса нагрузки, который включает и процесс поступления вызовов, и времена пребывания в системе. Процесс разбиения зависит от состояния. Большое время пребывания в системе единственного вызова приведет к нескольким новым вызовам в этом под­процессе в течение следующего временного интервала, и процесс посту­пления вызовов больше не будет процессом рождения.

Большинство попыток улучшения и метода эквивалентности Фредерикса-Хэйварда основаны на сокращении корреляции между под­потоками, потому что процессы поступления вызовов для одного подпо­тока рассматриваются как процессы рождения, а времена пребывания в системе предполагаются экспоненциально распределенными. Из вышеу­помянутых положений ясно, что рассмотренные подходы являются неудачными, потому что они не приводят к оптимальному разбиению нагрузки. В следующем примере мы убедимся, что оптимальное разбие­ние может быть реализовано для пакетов обслуживания нагрузки с посто­янным размером пакета.

Если мы разбиваем поток нагрузки на подпотоки так, чтобы занятый ■канал принадлежал подпотоку с вероятностью р, то можно показать, что подпотоку присваивается пиковость Z:

Z_p = l+ р - (Z — 1),

где Z — пиковость из первоначального потока. Из этого случайного раз­биения нагрузки мы видим, что пиковость сходится к единице при умень­шении р. Это соответствует Пуассоновскому процессу, и такой результат справедлив для любого процесса нагрузки.