2. Распределение Эрланга k-го порядка

Из приведенного выше можно заметить, что время поступления точно к событий определяется суммой к IID (independently and identically distributed - независимо и тождественно распределенных) экспоненци­ально распределенных случайных переменных.

Распределение этой суммы — распределение Эрланга к-го порядка (секция 4.2), и плотность равна:

g_k(t) dt = X ^ — 6~^xt d t, A>0, />0, k= 1,2,.... (6.14)

Для k=\ мы получаем экспоненциальное распределение. Распределение g_k+l(t), k>0, получено свертыванием g_m(t) и g,(f)- Если мы принимаем, что выражение (6.14) правильно для g_t(t), тогда получаем свертыванием:

t

gk+i(t) = J^(/-x)g,(x)dx о

₌ f х е^-А(,-х) X, е^-Ъс dt

J (к- 1)!

о

у⁴⁺¹ I

¹¹ [(/- x)^k~^Idx

(к- 1)!

о к\

Так как выражение справедливо при к= 1, согласно приведенной выше индукции мы имеем, что это справедливо для любого к.

Распределение Эрланга к-го порядка со статистической точки зрения - это специальное гамма-распределение.

Средняя величина и дисперсия получаются из (6.12):

к

Т’ к

V«'

1+-J-. (6.15)

к

Пример 6.2.1: Статистика вызова в системе с программным управлением (сравните с примером 5.1.2)

Пусть вызовы поступают в систему с программным управлением, например, на программно управляемую телефонную станцию (SPC — System Program Control), согласно Пуассоновскому процессу. Станция автоматически собирает полную информацию о каждом 1000-ом вызове. Интервалы поступления между двумя регистрацией тогда будут иметь А:= I ООО распределение Эрланга и иметь коэффициент формы е = 1,001, то есть регистрация будет очень регулярной.

3. Пуассоновское распределение

Покажем теперь, что число поступления заявок в интервал фикси­рованной длины t имеет Пуассоновское распределение со средней вели­чиной Xt. Когда мы знаем вышеупомянутое экспоненциальное распре­деление и распределение Эрланга, дифференцирование Пуассоновского распределения — только вопрос применения простой комбинаторики. Доказательство может быть осуществлено по индукции.

Мы хотим получить p(i, t) = вероятность i-го поступления заявки в пределах временного интервала t. Предположим, что:

ЛЛ/-1

Р(‘ ~ 1,0 = • е~^Л(, X > 0, 1= 1,2,...

Это справедливо, для /=0 (6.9). Интервал (0, /) разделен на три не пере­крывающихся интервала: (0, ?,), (t_x, t_{+dt_{) и (/,+Л,, t). Из предположения о независимости мы знаем, что события в пределах интервала не зависят от событий в других интервалах, потому что интервалы — не перекрывающиеся. Выбирая так, чтобы последнее поступление заявки в пределах (0,1) появля­лось в интервале (/,, /,+<#,), получим вероятность/> (/', /) объединением по всем возможным значениям t_{ как произведение следующих трех вероятностей.

а) Вероятность, что (/ - 1) поступление произойдет в пределах временно­го интервала (0, /,):

рЦ- М0= ^,е~^Ц|,

б) Вероятность, что только одно поступление произойдет в пределах временного интервала от t, до t, + dt,

в) Вероятность, что не произойдет поступление в пределах временного

интервала от t_t + dt_l до t:

e-W-'i).

Произведение первых двух вероятностей дает вероятность того, что /-ая заявка поступит в момент + dt_x, т.е. будет иметь место Эрланговское распределение из предыдущей секции.

Интегрируя, мы получаем

P(U) = d/,e-^>

t

• — _е-Ь' f (H d/,

• (i- 1)! J'>

,(/,,) = <^6J6>

Это — Пуасоновское распределение, которое мы, таким образом, получили из (6.9) индукцией. Средняя величина и дисперсия:

т 1 = \-1, (6.17)

ст² = X • t. (6.18)

Пуассоновское распределение — очень хорошая модель для числа вызовов в телекоммуникационной системе (рис. 6.3) или вакантных мест в компьютерной системе.