1. Экспоненциальное распределение

Следующий существенный шаг в развитии Пуассоновского распре­деления — получение вероятности р (0, /), которая является вероятностью непоступления заявки в пределах временного интервала длины t, то есть вероятности, что первое поступление заявки произойдет позже, чем t. Мы покажем, что {1 - р(0, 0} ^— экспоненциальное распределение (сравните с результатом секции 4.1).

Из (6.2) мы имеем:

Inр (0, ti) + Inр (0, t₂) = Inр (0, t_x + t₂) . (6.6)

Обозначая ln/>(0, t) =f (t), (6.6) может быть записано как:

f (t\) +f (h) = f (t_x + *2) • (6.7)

Дифференцируя, например, no t₂, мы имеем f\h) = f'_tl (^i + h) ■

Заметим, что f_g(t) должна быть константой, и поэтому f(t)=a+bt. (6.8)

Подставляя (6.8) в (6.7), мы получаем а = 0. Тогдар(0, t) имеет форму

P(0,t)= е^ы.

.00 оо

7 = J е*

Из (6.3) мы получаем Ь:

■^ы dt = - —

Ь ’

Л

и и

или

b = -X.

Таким образом, на основе пункта (1) и (2) выше мы показали, что:

р{0,0 = е~^х‘. (6.9)

Если мы рассматриваем р(0, t) как вероятность того, что следующее событие наступает позже, чем за время t, тогда время до следующего при­бытия является экспоненциально распределенным (секция 4.1):

1. - р(0, t) = F(t) = Х>0, t> 0, (6.10)

F'(t) = f(t) = X > 0, t> 0. (6.Ц)

Мы имеем следующую среднюю величину и дисперсию (4.4):

1

«1- _Г,

а² =

X² '

(6.12)

Вероятность, что следующее появление заявки в пределах интервала (t, t + dt) может быть записана, как:

(6.13)

f(t)dt = XQ~^l,dt

= p(0,t)Xdt,

то есть вероятность, что заявка поступит в пределах интервала (/, t + dt), равна Xdt, независимо от tw пропорционально dt (3.17).

Поскольку X независима от величины (возраста) t, экспоненциаль­ное распределение не имеет памяти (сравните секции 4.1 и 3.1.2). Процесс не имеет возраста.

Число наблюдений

Г0!

5916 наблюдений

© Теоретически

■

•

©,

©

-»

г*г

©

Время между двумя поступлениями [ сканирование = 0.2с ]

~г —nr —

0 4 8 12 16 20

Параметр X называется интенсивностью или скоростью экспоненци­ального распределения и соответствующего Пуассоновского процесса, и это соответствует интенсивности в (5.6). Экспоненциальное распределе­ние — вообще очень хорошая модель для интервалов поступления вызо­вов, когда нагрузка генерируется автоматически, а не вручную (рис. 6.2).

2000 1000 500

200 100 50

20 10 5