Лекция 6. Пуассоновский процесс

Пуассоновский процесс — самый важный точечный процесс. Позже мы поймем, что его роль среди точечных процессов столь же фундаментальна, как роль нормального распределения среди статистических распределений. Результатом сложения случайных переменных с помощью Центральной пре­дельной теоремы является нормальное распределение. Подобным способом мы получаем экспоненциальное распределение при совмещении стохастиче­ских точечных процессов.

Большинство других прикладных точечных процессов являются обоб­щением или модификацией Пуассоновского процесса.

Этот процесс дает удивительно хорошее описание многих реальных про­цессов жизни. Чем сложнее процесс, тем лучше Пуассоновский процесс будет служить для него общей моделью.

Пуассоновский процесс имеет широкое практическое применение, поэ­тому мы изучим его подробно в этой лекции. Сначала (секция 6.2) поговорим

о физической модели. При этом главное внимание будет уделено распреде­лениям, связанным с процессом, а затем мы рассмотрим некоторые важные свойства Пуассоновского процесса (секция 6.3). Наконец, в секции 6.4 рас­смотрим прерванный Пуассоновский процесс как пример обобщения.

1. Характеристики Пуассоновского процесса

Фундаментальные свойства Пуассоновского процесса определены в секции 5.2:

а. стационарность;

б. независимость (отсутствие последействия) во все моменты времени (периоды), и

в. простота (ординарность).

(б) и (в) — фундаментальные свойства, тогда как (а) не является необ­ходимым. Таким образом, можно допустить, что Пуассоновский процесс может иметь интенсивность, зависящую от времени поступления. Из этих свойств можно получить другие свойства, которые являются достаточны­ми, чтобы определить Пуассоновский процесс. Два самых важных:

• числовое представление: число событий в пределах временного интер­вала фиксированной длины имеет Пуассоновское распределение. Поэтому процесс называют Пуассоновским процессом',

• представление с помощью интервала: интервал времени А", (5.2) между последовательными событиями является экспоненциально распреде­ленным.

В этом случае, используя (4.8) и (4.10) равенство Феллера-Дженсена (5.4), можно показать фундаментальное отношение между кумулятив­

ным (накопленным) Пуассоновским распределением и распределением Эрланга:

I it⁼1?^9^я<бл)

Эта формула может также быть получена повторным интегрирова­нием по частям.

2. Распределения Пуассоновского процесса

В этой секции мы поговорим о динамическом и физическом пред­ставлении Пуассоновского процесса (1928 [30] и Дженсен, 1954 [11]). Дифференцирования основаны на простой физической модели и концен­трируются на распределениях вероятности, связанных с Пуассоновским процессом.

Физическая модель получается следующим способом. События (поступление) помещены наугад на реальной оси времени независимо от всех других событий, т.е. мы помещаем события однородно и независимо на реальных осях времени.

Средняя плотность выбрана как X события (поступление) в единицу времени. Если рассматривать ось как ось времени, то в среднем мы будем иметь X поступлений в единицу времени.

Вероятность, что данное поступление заявки возникает в пределах временного интервала, не зависит от местоположения интервала на оси времени.

~~о b— t\ —1< - ?2 *\ Время

Рисунок 6.1. В Пуассоновском процессе мы рассматриваем посту­пление заявки в пределах двух не перекрывающихся временных интервалов продолжительностью /, и t₂ соответственно

Пусть p(v, t) обозначают вероятность, что v событий возникают в пределах временного интервала продолжительностью t.

Математическая формулировка вышеупомянутой модели следующая.

1. Независимость (отсутствие последействия). Если /_;и t₂~ два не пере­крывающихся временных интервала (рис. 6.1), мы предполагаем, что они независимы:

р (0, fi) -р (0, t₂) = р (0, ti + t₂) . (6.2)

2. Средняя величина временного интервала между двумя последова­тельными поступлениями заявок — 1Д (3.4):

со - j |

J /7(0,0 dl= —, 0<-<оо. (6.3)

о

Здесь р(0, 0 - вероятность, что в пределах временного интервала (0, 0 нет поступления заявок. Идентичная вероятность: время, пока произойдет первое событие первое событие, не больше, чем t (допол­нительное распределение). Средняя величина (6.3) получена непо­средственно из (3.4). Формула (6.3) может также интерпретироваться как область под кривой р(0, t) Это никогда не увеличивающаяся функция, уменьшающаяся от 1 до 0.

3. Отметим, что (6.2) подразумевает, что событие нет поступления заявок в пределах интервала длиной 0 существует и равно:

/40,0)= 1. (6.4)

4. Отметим, что (6.3) подразумевает, что вероятность события нет никаких поступлений заявок в пределах интервала времени длиной °° является нулевым и никогда не имеет место

/>(0,со)=0. (6.5)