Лабораторная работа №2. Определение теоретических законов распределения показателей надежности

Цель работы - освоение методики аналитического определения теоретических законов распределения показателей долговечности.

Порядок выполнения работы.

1. Обработать информацию о:

- межремонтных ресурсах станков, полученную в результате их испытаний и представленную в табл.3.4;

- количественных показателях долговечности, полученных в результате расчета и представленную в табл.3.2 и табл.3.3.

2. Данные о межремонтных ресурсах станков занести в табл. 4.1. Таблица 4.1 - Межремонтные ресурсы станков

Таблица 4.1 – Межремонтные ресурсы станков
Номер станка	Межремонтный ресурс	Номер станка	Межремонтный ресурс

3. Информацию о количественных показателях долговечности занести в соответствующие графы таблицы 4.2.

Таблица 4.2 - Данные по результатам выравнивания закона распределения
Номер интервала	Середина интервала	Теоретическая частота	Плотность распределения	Теоретическая вероятность	Теоретическая накопленная вероятность

4. По значениям межремонтных ресурсов и количественным показателям долговечности для межремонтных ресурсов определить теоретический закон распределения показателей долговечности.

5. Рассчитать параметры установленного закона распределения. Построить теоретическую кривую распределения межремонтных ресурсов станков и интегральную кривую накопленных вероятностей.

6. Проверить вероятность соответствия (сходимость) теоретического и экспериментального законов.

Методические указания

Для сбора исходной информации о межремонтном ресурсе под наблюдение ставится определенное количество машин (изделий). Наблюдение продолжается до тех пор, пока не возникнут отказы определенной сложности у всех наблюдаемых машин (изделий). При этом фиксируется время наработки машины (изделия) до появления отказа. Затем в результате обработки этой информации определяют количественные показатели долговечности (эмпирические показатели).

(Для учебных целей исходная информация о численных значениях межремонтных ресурсов и количественных показателях долговечности определяется по результатам работы №3.)

Далее по значениям межремонтных ресурсов и количественным показателям долговечности для межремонтных ресурсов определяют теоретический закон распределения показателей долговечности.

Обработку данных начинаем с определения среднего квадратичного отклонения, являющегося одной из характеристик рассеивания случайных величин:

где Ti - ресурсы машин;

Т_СР - средний межремонтный ресурс;

N -число машин, поставленных на испытания.

Затем проводится проверка значений статистического ряда информации на выпадающие значения.

Данная проверка на выпадающие значения (точки) производится по правилу "трех сигма" - последовательного вычитания и прибавления 3σ к T_CP. Если крайние точки информационного ряда не выходят за эти пределы, то все значения считаются действительными, а если выходят, то такие значения надо отбросить и в последующих расчетах не использовать. Т.е. должны соблюдаться следующие неравенства:

Далее находится смещение начала рассеивания ресурса:

Т_СМ=T_min – А

где T_min — минимальное значение ресурса,;

А - ширина интервала.

Затем определяется величина коэффициента вариации:

Величина коэффициента вариации и служит для определения теоретического закона распределения показателей долговечности.

На практике если v = 0,08 ... 0,32, то принимается нормальный закон распределения, при v=0,33...0,63 - закон Вейбулла-Гнеденко, при v = 0,64 ... 1,3 -экспоненциальный закон.

После того, как теоретический закон распределения определен проводим выравнивание показателей.

Процесс замены эмпирического распределения теоретическим законом называется выравниванием. Сущность этого процесса заключается в определении теоретических значений частот Mi, теоретических значений вероятностей Рi (частостей) и значений теоретических накопленных вероятностей ∑Pi (накопленных частостей).

Теоретическая вероятность для закона нормального распределения находится по формуле:

где f_i - плотность распределения.

Определяется по ГОСТ 27.503-81 для каждого интервала в зависимости от соотношения:

где X_i – середина интервала.

Теоретическая накопленная вероятность вычисляется по формуле:

∑P_i=∑P_(i-1)+P_i

Для первого интервала ∑P₁=P₁.

Далее определяются теоретические значения частот. Для закона нормального распределения теоретические значения частот находятся по формуле:

M_Ti=N∙P_i

Полученные значения заносятся в табл.4.2. По теоретическим значениям частоты Pi и накопленной вероятности ∑P_i строятся теоретические кривые распределения межремонтных ресурсов P_i(Х_i) и ∑P_i(X_i).

На графиках видно, что теоретические кривые приобретают более плавный характер по сравнению с эмпирическими.

После построения необходимо найти вероятность соответствия эмпирической распределения выбранному теоретическому закону (сходимость).

Сходимость можно проверить по критерию согласия Пирсона:

где n – число интервалов.

m – экспериментальная частота попадания значения ресурса в i-й интервал;

M_Ti - теоретическая частота попадания значения ресурса в i-й интервал.

Далее рассчитывается число степеней свободы распределения (номер строки):

r = n – k

где k – число обязательных связей.

Для закона нормального распределения и закона распределения Вейбулла к 3.

Вероятность принятия закона распределения находится по ГОСТ 17509-72 следующим образом.

По значению критерия находящегося в строке табл.4.3., порядковый номер которого определен из выражения (4.1 1) определяют вероятность совпадения (сходимости) Р_С.

Таблица 4.3 – Вероятность совпадения P_С, % по критерию согласия

Считается, что эмпирическое распределение полностью согласуется с теоретическим, если вероятность сходимости Р_С > 80 %. Если Р_С < 10%, то выбранный для выравнивания опытной информации теоретический закон распределения следует признать непригодным.