Контрольные вопросы к лекции №8

1. Понятие евклидова пространства.

2. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

3. Понятия размерности и базиса линейного пространства.

4. Линейное преобразование векторов.

Лекция 9. Матрицы

Основные понятия:

матрица; элемент матрицы; размер матрицы; строка; столбец; квадратная матрица; главная диагональ; побочная диагональ; диагональная матрица; скалярная матрица; единичная матрица; нулевая матрица; сумма матриц; произведение матриц; согласованные матрицы; транспонирование матриц; определитель матрицы; минор; алгебраическое дополнение; линейная зависимость; линейная комбинация; ранг матрицы; окаймляющий минор; элементарные преобразования матрицы; обратная матрица.

Основные понятия

Прямоугольная таблица:

(9.1)

состоящая из строк и столбцов, называется матрицей размера или -матрицей.

Матрицу (9.1) будем обозначать или . Числа называются элементами матрицы, индекс обозначает номер строки, а индекс ‑ номер столбца, на пересечении которых расположен элемент.

Если , то матрица (9.1) называется квадратной матрицей порядка .

В квадратной матрице -го порядка диагональ, состоящая из элементов называется главной диагональю, состоящая из элементов ‑ побочной диагональю.

Квадратная матрица:

называется диагональной. Если в диагональной матрице все диагональные элементы равны, т.е. , то такая матрица называется скалярной. Скалярная матрица, у которой называется единичной и обозначается буквой . Например, единичная матрица третьего порядка:

.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается через 0.

Матрицы и называются равными, если их размеры одинаковы и элементы этих матриц, стоящие на одинаковых местах, равны.

Операции над матрицами

Суммой двух матриц и одинакового размера называется матрица того же размера с элементами, равными суммам соответствующих элементов слагаемых матриц, т.е. .

Сложение матриц обладает следующими свойствами:

1. Коммутативность, т.е. .

2. Ассоциативность, т.е. .

3. Для любых двух матриц и одинакового размера существует единственная матрица такая, что . Матрица обозначается и называется разностью матриц и . Уравнение имеет решение , получающаяся при этом матрица называется противоположной и обозначается .

Произведением матрицы на число называется матрица, все элементы которой равны соответствующим элементам матрицы , умноженным на число .

Умножение матрицы на действительное число обладает следующими свойствами:

1. ;

2. ;

3. ;

4. (ассоциативность);

5. (дистрибутивность);

6. (дистрибутивность).

Матрица называется согласованной с матрицей , если число столбцов матрицы равно числу строк матрицы . В этом случае произведением матрицы на матрицу называется матрица , где , т.е. элемент, стоящий в -той строке и -том столбце матрицы произведения равен сумме произведений элементов -той строки матрицы на соответствующие элементы -го столбца матрицы .

Свойства умножения:

1. Если матрица согласована с матрицей , а матрица согласована с матрицей , то ‑ ассоциативность умножения;

2. ‑ свойство дистрибутивности;

3. Умножение матриц не коммутативно, т.е., как правило, .

Транспонированием матрицы называется операция замены местами строк и столбцов с сохранением порядка их следования, т.е. -я строка матрицы становится -тым столбцом транспонированной матрицы. Матрица, транспонированная к матрице обозначается .

Свойства транспонирования:

1. 

2. 

3. 

4.