63. Операции алгебры логики. Схемы, реализующие основные логические элементы эвм. Примеры.

Аппарат алгебры логики является одним из важных разделов математической логики. Создатель алгебры логики – английский математик Дж. Буль (1815–1864).

Основное понятие алгебры логики – высказывание. Высказывание – некоторое предложение, о котором можно утверждать, что оно истинно или ложно. Например, высказывание “Земля – это планета Солнечной системы” истинно, а о высказывании “на улице идет дождь” можно сказать, истинно оно или ложно, если указаны дополнительные сведения о погоде в данный момент.

Любое высказывание можно обозначить символом x и считать, что x=1, если высказывание истинно, а x=0 – если высказывание ложно.

Логическая (булева) переменная – такая величина x, которая может принимать только два значения: x= {0,1}.

Высказывание абсолютно истинно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение x=1 при любых условиях. Пример абсолютно истинного высказывания – высказывание “Земля – планета Солнечной системы”.

Высказывание абсолютно ложно, если соответствующая ей логическая величина принимает значение x=0 при любых условиях. Например, высказывание “Земля – спутник Марса” абсолютно ложно.

Логические функции и логические элементы

Информация в ЭВМ представлена кодами. Выполняя различные операции, ЭВМ производит определенные преобразования двоичных кодов. В основе устройства, реализующего эти операции, лежат законы алгебры логики - одной из областей математической логики. Предметом рассмотрения алгебры логики являются высказывания - утверждения, о которых можно сказать, что они являются истинными или ложными. Высказывания выступают в качестве логических переменных, т.е. переменных, которые принимают только два значения - "истина" или "ложь", обозначаемые соответственно через 1 или 0. Как и в обычной алгебре, в алгебре логики вводится ряд функций, которые принято называть логическими. Они также могут принимать только одно из двух значений - 1 или 0.

Рассмотрим основные способы образования простых логических функций и логические элементы, реализующие их в ЭВМ. Эти элементы строятся из разнообразных электрических схем. При этом аргументы логических функций представлены в виде сигналов, поступающих на ввод схемы, а значениями этих функций являются выходные сигналы. Если сигнал есть, то значение аргумента, который он изображает, равно единице. Если сигнала нет, то значение этого аргумента равно нулю.

Простейшая из логических функций - инверсия, или функция НЕ. Эта функция от одного аргумента обозначается чертой, которая ставится над аргументом. Логическая функция НЕ обращается в нуль в случае истинности аргумента и в единицу - в случае его ложности.

Логический элемент, реализующий эту функцию, называют инвертором. Он действует всегда наперекор заданному входному сигналу: если на входе в инвертор задан 0, то на выходе получим 1, и наоборот. Простой пример инвертора - электрический контур с переключателем и лампочкой, представляющей, как известно, определенное сопротивление. При замкнутом переключателе напряжение на лампочке будет снято - она гаснет. При разомкнутом переключателе лампочка горит.

Другая логическая функция - конъюнкция. Это функция, которая принимает значение единицы только в том случае, когда все аргументы равны 1. Во всех остальных случаях (т.е. когда хотя бы один аргумент равен нулю) она равна 0.

Конъюнкция - функция логического умножения, так как ее значение как бы совпадает с произведением переменных. Читается конъюнкция как И.

Логический элемент И - это схема совпадения, которая посылает сигнал на выходе только тогда, когда сигналы идут на все входные линии одновременно.

В число логических функцих входит также дизъюнкция. Это функция, обращающаяся в 0 только в том случае, если все аргументы равны 0. Во всех остальных случаях ее значение равно 1. Читается дизъюнкция как ИЛИ. Дизъюнкция может быть представлена как логическое сложение.

Дизъюнкция реализуется в ЭВМ с помощью логического элемента ИЛИ - собирательной схемы. Появление сигнала на любом из входов в электронную схему обеспечит сигнал на выходе. Отсутствие сигнала на всех входах одновременно приводит к отсутствию сигнала на выходе.

Операции логического умножения и сложения подчиняются переместительному и сочетательному законам аналогично операциям алгебраического умножения и сложения, а также распределительному закону. Пользуясь этими законами алгебры логики, можно доказать, что любая логическая функция выразима через логические функции НЕ, И, ИЛИ. Поэтому данные функции называют основными логическими функциями, а элементы электронных цифровых машин, реализующие эти функции, называют основными логическими элементами.

На базе основных логических элементов - инвертора, схемы совпадения, собирательной схемы - строятся все логические схемы электронных цифровых машин. Обработка информации в ЭВМ может быть организована лишь в результате объединения очень большого числа комбинаций логических элементов. Разработчик ЭВМ стремится по возможности упростить комбинации и число таких элементов, добиваясь надежности и уменьшения стоимости ЭВМ. Основу инвертора составляет транзистор с включенным в цепь резистором. Транзистор имеет три вывода, которые называют коллектором (К), базой (Б) и эмиттером (Э). База - управляющий слой транзистора. Подводимый к ней слабый ток способен управлять большим током, который протекает в коллекторе и обеспечивается источником питания. Подача на вход в транзистор положительного сигнала открывает транзистор, т.е. от источника через коллектор к эмиттеру проходит ток. Однако напряжение этого тока сильно падает на резисторе. В результате на выходе создается низкий потенциал. При снятии напряжения, подаваемого на базу, транзистор закрывается - ток от коллектора к эмиттеру не проходит, и на выходе образуется высокий электрический потенциал. Таким образом происходит обращение сигналов.

Схема совпадения, составленная из диодов реализует конъюнкцию. Подача положительных сигналов на входах A, B, C, D запирает диоды, снятие сигналов - открывает. Только если все диоды заперты, возникает выходной сигнал на линии Р вследствие того, что на ней реализуется весь потенциал от источника. Если же хоть на один из диодов входной сигнал не будет подан, этот диод откроется и через резистор от источника пойдет ток. При этом на резисторе напряжение резко упадет и на выходной линии Р получим резкое уменьшение потенциала. Высокий уровень сигнала на выходе из схемы обеспечивается только всеми сразу сигналами на входе. Использую диоды, можно построить и собирательную схему.

Приведенные примеры позволяют выявить характерные способы использования полупроводниковых схем для формирования битов информации при различных входных сигналах.