17. Двоичная арифметика. Примеры.

Числа которыми мы привыкли пользоваться называются десятичными и арифметика которой мы пользуемся также называется десятичной. Это потому, что каждое число можно составить из набора цифр содержащего 10 символов - цифр - "0123456789".

Так шло развитие математики, что именно этот набор стал главным, но десятичная арифметика не единственная. Если мы возьмём только пять цифр, то на их основе можно построить пятиричную арифметику, из семи цифр - семиричную. В областях знаний связанных с компьютерной техникой часто используют арифметику в которой числа составляются из шестнадцати цифр, соответственно эта арифметика называется шестнадцатиричной.

Двоичная арифметика

Сложение.

В основе сложения лежит таблица сложения одноразрядных двоичных чисел:

0 + 0 = 0

0 + 1 = 1

1 + 0 = 1

1 + 1 = 10

Важно обратить внимание на то, что при сложении двух единиц происходит переполнение разряда и производится перенос в старший разряд. Переполнение разряда наступает тогда, когда значение числа в нем становится равным или большим основания. Для двоичной системы счисления, это число равно двум.

Сложение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей сложения с учетом возможных переносов из младших разрядов в старшие.

• Вычитание.

Рассмотрим вычитание двоичных чисел. В его основе лежит таблица вычитания одноразрядных двоичных чисел. При вычитании из меньшего числа (0) большего (1) производится заем из старшего разряда. В таблице заем обозначен 1 с чертой.

0 - 0 = 0

0 - 1 = -1

1 - 0 = 1

1 - 1 = 0.

Вычитание многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей вычитания с учетом возможных заемов в старших разрядах.

• Умножение.

В основе умножения лежит таблица умножения одноразрядных двоичных чисел:

0 * 0 = 0

0 * 1 = 0

1 * 1 = 1.

Умножение многоразрядных двоичных чисел происходит в соответствии с вышеприведенной таблицей умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

• Деление.

Операция деления выполняется по алгоритму, подобному алгоритму выполнения операции деления в десятичной системе счисления.

Примеры примеры на сложение.

При сложении столбиком двух цифр справа налево в двоичной системе счисления, как в любой позиционной системе, в следующий разряд может переходить только единица.

Результат сложения двух положительных чисел имеет либо столько же цифр, сколько у максимального из двух слагаемых, либо на одну цифру больше, но этой цифрой может быть только единица.

примеры  на вычитание.   При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и у результата ставится соответствующий знак. примеры  на умножение. Рассмотрим примеры  на умножение. примеры на деление

18. Дискретная модуляция аналоговых сигналов. Импульсно – кодовая модуляция.

Дискретная модуляция основана на дискретизации непрерывных сигналов, как по амплитуде, так и по времени. Одним из широко распространенных методов преобразования аналоговых сигналов в цифровые является импульсно-кодовая модуляция (ИКМ), предложенная в 1938 г. А.Х.Ривсом (США).

При использовании ИКМ процесс преобразования включает три этапа: отображение, квантование и кодирование.

Первый этап – отображение. Амплитуда исходного непрерывного сигнала измеряется с заданным периодом, за счет чего происходит дискретизация по времени. На этом этапе аналоговый сигнал преобразуется в сигналы импульсно-амплитудной модуляции (ИАМ). Выполнение этапа базируется на теории отображения Найквиста-Котельникова, основное положение которой гласит: если аналоговый сигнал отображается (т.е. представляется в виде последовательности ее дискретных по времени значений) на регулярном интервале с частотой не менее чем в два раза выше частоты самой высокой гармоники спектра исходного непрерывного сигнала, то отображение будет содержать информацию, достаточную для восстановления исходного сигнала. В аналоговой телефонии для передачи голоса выбран диапазон от 300 до 3400 Гц, который достаточен для качественной передачи всех основных гармоник собеседников. Поэтому в цифровых сетях, где для передачи голоса реализуется метод ИКМ, принята частота отображения, равная 8000 Гц (это больше 6800 Гц, что обеспечивает некоторый запас качества).

На этапе квантования каждому сигналу ИАМ придается квантованное значение, соответствующее ближайшему уровню квантования. Весь диапазон изменения амплитуды сигналов ИАМ разбивается на 128 или 256 уровней квантования. Чем больше уровней квантования, тем точнее амплитуда ИАМ–сигнала представляется квантованным уровнем.

На этапе кодирования каждому квантованному отображению ставится в соответствие 7-разрядный (если число уровней квантования равно 128) или 8-разрядный (при 256-шаговом квантовании) двоичный код. На рис.8 показаны сигналы 8-элементного двоичного кода 00101011, соответствующего квантованному сигналу с уровнем 43. При кодировании 7-элементными кодами скорость передачи данных по каналу должна составлять 56 Кбит/с (это произведение частоты отображения на разрядность двоичного кода), а при кодировании 8-элементными кодами – 64 Кбит/с. Стандартным является цифровой канал 64 Кбит/с, который называется также элементарным каналом цифровых телефонных сетей.

Устройство, которое выполняет указанные этапы преобразования аналоговой величины в цифровой код, называется аналого-цифровым преобразователем (АЦП). На приемной стороне с помощью цифроаналогового преобразователя (ЦАП) осуществляется обратное преобразование, т.е. производится демодуляция оцифрованных амплитуд непрерывного сигнала, восстановление исходной непрерывной функции времени.

В современных цифровых сетях связи используются и другие методы дискретной модуляции, позволяющие представить замеры голоса в более компактной форме, например, в виде последовательности 4-разряных чисел. Используется и такая концепция преобразования аналоговых сигналов в цифровые, при которой квантуются и затем кодируются не сами сигналы ИАМ, а лишь их изменения, причем число уровней квантования принимается таким же. Очевидно, что такая концепция позволяет производить преобразование сигналов с большей точностью.

Цифровые методы записи, воспроизведения и передачи аналоговой информации обеспечивают возможность контроля достоверности считанных с носителя или полученных по линии связи данных. С этой целью применяются те же методы контроля, что и для компьютерных данных.

Передача непрерывного сигнала в дискретном виде предъявляет жесткие требования к синхронизации приемника. В случае несоблюдения синхронности исходный сигнал восстанавливается неверно, что приводит к искажениям голоса или передаваемого изображения. Если кадры с замерами голоса (или другой аналоговой величины) будут прибывать синхронно, то качество голоса может быть достаточно высоким. Однако в компьютерных сетях кадры могут задерживаться как в конечных узлах, так и в промежуточных коммутационных устройствах (мостах, коммутаторах, маршрутизаторах), что негативно сказывается на качестве передачи голоса. Поэтому для качественной передачи оцифрованных непрерывных сигналов используются специальные цифровые сети (ISDN, ATM, сети цифрового телевидения), хотя для передачи внутрикорпоративных телефонных разговоров и сегодня применяются сети Frame Relay, поскольку задержки передачи кадров в них находятся в допустимых пределах.

Импульсно-кодовая модуляция (ИКМ или РСМ – Pulse Code Modulation) используется для передачи аналоговых сиг­налов по цифровым каналам связи.

Этот вид модуляции сводится к измерению амплитуды ана­логового сигнала в моменты времени, отстоящие друг от друга на dt, и к кодированию этих амплитуд цифровым кодом. Ве­личина dt определяется по теореме Котельникова: для неиска­женной передачи нужно иметь не менее двух отсчетов на период колебаний, соответствующий высшей составляющей в частотном спектре сигнала.

В цифровых каналах ISDN (Inte­grated Services Digital Network – интегрированная цифровая сеть связи) за основу принята передача голоса с частотным диапазоном до 4 кГц, а кодирование про­изводится восемью (или семью) битами. Отсюда получаем, что частота отсчетов (передачи байтов) равна 8 кГц, т.е. биты передаются с частотой 64 кГц (или 56 кГц при семибитовой кодировке).

При преобразовании амплитуды А аналогового сигнала в цифровой код К желательно учитывать нелинейность ампли­тудных характеристик приборов и иметь зависимость К от А, монотонно убывающей с ростом амплитуды.

Разновидностями ИКМ являются дельта-модуляция (ДМ), дифференциальная ДМ (ДДМ) и адаптивная ДМ (АДДМ). В них передаются разности амплитуд А₁ и А₂ соседних отсчетов. При этом в ДМ А₁ – амплитуда на входе модулятора, а А₂ – амплитуда отсчета, которая соответствует переданному сигналу в предыдущем временном такте. Для представления разности используется всего 1 бит (т.е. передается знак разности), поэ­тому нужна достаточно высокая частота отсчетов, чтобы не было “запаздывания” изменений передаваемого сигнала по сравнению с реальными изменениями.

ДДМ отличается от ДМ тем, что знак разности А₁–А₂ пере­дается только в момент пересечения величиной А₁ одного из уровней квантования. В АДДМ шаги отсчетов адаптируются к динамике изменения величины сигнала.