Форма отчёта:
Постановка задач. Краткая теория (метод решения). Геометрическая интерпретация.
Алгоритм решения поставленной задачи. (Блок-схема).
Текст программы.
Тестовый пример.
Численный расчёт по данным исходной задачи с оценкой погрешности результата. Протокол работы программы.
Анализ полученного результата.
Пояснения к отдельным пунктам отчета.
Постановка задачи включает краткую математическую формулировку задачи с пояснением отдельных моментов, а также необходимые графики и/или рисунки. Должны быть приведены основные моменты применяемых методов.
Алгоритм решения задачи может быть оформлен или в виде блок-схемы, или в словесной форме. Допускается описание алгоритма осмысленными частями (блоками).
Текст программы численного решения задачи должен быть написан на предлагаемом языке программирования, который может быть изменен по согласованию с преподавателем данного курса.
Под тестовым примером или тестом понимается задача (аналогичная по постановке искомой задаче) у которой известно точное решение, что позволяет сравнить численные результаты (приближенное и точное решения) и оценить допускаемую погрешность. По результатам тестирования должен быть сделан вывод.
Протокол работы программы должен включать результаты как по тестовому примеру, так и численного расчета искомой задачи. Результаты численных расчетов должны быть оформлены по всем правилам записи приближенных чисел, т.е. запись приближенного решения только с верными значащими цифрами и допускаемой погрешностью.
Анализ численных результатов должен дать ответ на вопрос, соответствуют ли полученные результаты искомому решению поставленной задачи и почему.
Краткая теория к лабораторным и контрольным работам Приближенное решение нелинейного уравнения
Метод половинного деления.
Постановка задачи. Дано нелинейное
уравнение
,
где функция
определена и непрерывна для всех
,
причем функция меняет знак на концах
этого отрезка, т.е.
.
Найти приближенное решение данного
уравнения
с точностью
,
а так же необходимое для этого число
разбиений отрезка
.
Приближенное решение
и погрешность приближения
находятся по следующей схеме:
,
,
;
где
,
удовлетворяет условиям
,
;
из последнего определяется число
разбиений отрезка
.
Метод хорд.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
если
на
,
то
,
,
;
если
на
,
то
,
,
.
Приближенное решение и погрешность приближения :
,
.
Метод Ньютона (метод касательных).
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение , где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
,
;
если на , то ;
если на , то .
Приближенное решение и погрешность приближения :
, .
Метод итерации.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
уравнение приводится к виду
,
где функция
удовлетворяет условиям:
,
дифференцируема на данном отрезке и
;строится итерационная последовательность вида
,
,
где
выбирается произвольно из данного
отрезка, например,
;полагая
приближенное значение корня
,
для погрешности получим
,
а так как по условию
,
то итерационный процесс продолжим до
выполнения условия
,
при этом приближенное значение корня
определяется как
.
Приближенное решение и погрешность приближения :
,
.
Метод хорд и касательных.
Постановка задачи. Дано нелинейное уравнение, где функция определена и непрерывно-дифференцируема для всех , причем функция меняет знак на концах этого отрезка, т.е. .
Найти приближенное решение данного уравнения с точностью .
Приближенное решение и погрешность приближения находятся по следующей схеме:
если на , то
,
,
,
,
;
если на , то
,
,
,
,
.
Приближенное решение и погрешность приближения :
,
.
Приближенное решение системы линейных алгебраических уравнений
Постановка
задачи. Найти приближенное
решение системы линейных алгебраических
уравнений
,
где
,
,
,
,
.
Если
,
то система имеет единственное решение.
Явный метод итерации. Представим данную систему в виде приведенной системы
,
где
,
,
,
,
,
;
.
Приближенное решение ищем по следующей итерационной схеме
,
или
,
,
.
Для
сходимости итерационной последовательности
необходимо выполнение следующего
условия:
.
Где
канонические нормы:
;
;
.
Итерационная последовательность продолжается до выполнения условия
,
,
.
Тогда за приближенное решение можно взять
,
.
Явный метод Зейделя. По данному методу приближенное решение ищется по следующей схеме
,
.
Определение сходимости и оценка погрешности производится так же, как и для метода итерации.