4.4. Обобщенные нелинейные модели многофакторной регрессии

В общем виде нелинейная многофакторная модель задается в виде:

. (4.4.1)

Или:

.(4.4.2)

В уравнении (4.4.1) у - эндогенная переменная; - независимые экзогенные переменные, - известные нелинейные функции этих переменных, - неизвестные коэффициенты, ε- случайная составляющая. Относительно случайных величин , предполагается выполнение условий Гаусса-Маркова.

В качестве примера такой модели рассмотрим следующую функцию:

,

которая описывает изменение прибыли (переменная у) в зависимости от следующих показателей:

●удельных расходов на рекламу (переменная х₁);

●капитала фирмы (переменная х₂);

●доли продаж фирмы в общем объеме продаж данной группы товаров по региону (переменная х₃);

●увеличения объема продаж фирмы по сравнению с предыдущим годом (переменная х₄).

Функция вида:

(4.4.3)

будет являться функцией нелинейной многофакторной регрессии.

Отметим, что, как и в предыдущем параграфе при рассмотрении обобщенных нелинейных зависимостей от одного фактора, так и в этом параграфе,

неизвестные коэффициенты входят в модель линейно. Этот факт позволяет нам производить линеаризацию исходной функции путем замены переменных, затем оценивать параметры линеаризованной модели, а тем самым и исходной нелинейной модели.

В качестве альтернативы рассмотрим еще несколько нелинейных моделей:

,

.

В эти уравнения и сами факторы, и неизвестные коэффициенты, входят нелинейно, такие функции относятся к существенно нелинейным функциям. Нахождение параметров такой функции становится самостоятельной математической задачей, однако, чаще всего решение этой задачи удается найти не аналитически, а с использованием численных методов. В заключение приведем пример существенно нелинейной функции:

.

4.5. Производственные функции

Нам уже не раз приходилось обсуждать вопрос о том, как подбирать функцию, при помощи которой можно описать связь между экономическими показателями. В книге К.Доугерти «Введение в эконометрику» [8] вы можете найти описание того, что в 1827 году, экономист по образованию, Пол Дуглас, изучая производственную модель, нанес на один и тот же чертеж графики следующих функций:

●график логарифма показателя реального объема выпуска (Y);

●логарифма капитальных затрат (K);

●логарифма затрат труда (L).

В результате изучения графика он обнаружил, что расстояние от точек графика показателей выпуска до точек графика показателей труда и капитала составляют постоянную пропорцию. Для, аппроксимации, такой зависимости математик Чарльз Кобб предложил следующее аналитическое выражение:

. (4.5.1)

Константы А и a в выражении (4.5.1) являлись неизвестными. Переменная ε характеризовала неучтенные в модели факторы производства.

Задача нахождения неизвестных параметров функции по известным значениям переменных x и y решается в математике различными методами. Предполагается, что Кобб и Дуглас для нахождения неизвестных параметров использовали метод наименьших квадратов.

Перепишем выражение для производственной функции (4.5.1) в виде

, (4.5.2)

Тогда:

Ln(Y)=ln(B₀)+B₁*ln(x₁)+B₂*ln(x₂)+ln(e)

В уравнении (4.5.2) использованы следующие обозначения: . Перед нами нелинейная функция двух переменных и с неизвестными коэффициентами Произведем ее линеаризацию, проведя предварительно некоторые преобразования. Разделим обе части равенства на , получим:

.

Или:

.

Последнее выражение прологарифмируем по натуральному основанию

и запишем следующим образом:

.

По свойству логарифмов правую часть равенства можно переписать в таком виде:

. (4.5.3)

Перейдем к новым переменным:

,

,

,

и перепишем равенство (4.5.3):

(4.5.4)

Преобразования привели нас к модели парной линейной регрессии (4.5.4). Методы оценивания параметров такой модели нам уже известны. Обозначим полученные оценки параметров модели (4.5.4) следующим образом: .

Запишем выражения для оценок параметров исходной модели (4.5.2):

,

, (4.5.5)

.

Замечание 1. В общем случае в уравнении для производственной функции отсутствует ограничение , связывающее параметры. Поэтому линеаризацию уравнения (4.5.2) , задающего вид производственной функции, можно выполнять сразу, переходя к уравнению вида:

. (4.5.6)

Последнее уравнение при помощи новых обозначений запишем в виде:

(4.5.7)

Оценив параметры модели (4.5.7) и используя соотношения,

,

, (4.5.8)

,

получим решение задачи оценивания параметров производственной функции без ограничения на параметры.

Ответ на вопрос о том, будет ли предположение о взаимосвязи параметров иметь место, можно получить, используя технику проверки о выборе между «короткой» (если равенство имеет место) регрессии вида (4.5.4) или «длинной» регрессии вида (4.5.6) (предположение не выполняется).