Основное уравнение квантовой механики.

1926г. Уравнение Шредингера.

m- масса частицы.

E- полная энергия частицы.

- пси-функция (волновая функция).

- оператор Лапласа.

С помощью описывается поведение микрочастицы в данный момент времени. , так как это поведение носит вероятностный характер, то с помощью надо умерь рассчитывать вероятность обнаружения микрочастицы в данном объеме пространства. А, так как вероятность действительная и положительная, то за меру вероятности берут не саму , а квадрат ее модуля.

- плотность вероятности (вероятность [W] обнаружения частицы в данный момент времени в единичном объеме)

; - вероятность достоверного события.

Итак. Решив уравнение, получаем значение ; зная ее можем рассчитать вероятность нахождения частицы в данный момент времени в данном объеме пространства. Чтобы была объективной характеристикой поведения микрочастицы, она должна обладать следующими свойствами:

1. Непрерывность.

Разрыв может приводить к неверным результатам при расчете вероятности.

2. Однозначность, чтобы не было неоднозначности при расчете вероятности.

3. Конечность, потому что вероятность не может быть больше 1.

В теории дифференциального уравнения подобного типа (2-го порядка частных производных) доказывается, что решения, удовлетворяющие свойствам непрерывности, имеют место только при определенных значениях параметра, входящего в это уравнение. Таким параметром в данном уравнении является Е (энергия микрочастицы). Следовательно, из уравнения Шредингера без каких-либо постулатов вытекает дескретный ряд значений полной энергии микрочастицы.

Применение уравнения (1) к атому водорода.

Решение уравнения дает:

1. Значение энергии.

; n=1,2,3…

2. Значение волновой функции.

dV- объем, в котором находится частица.

dW- вероятность нахождения частицы в заданном объеме.

Т.к. электрон в атоме имеет три степени свободы (i=3), то является функцией трех квантовых чисел ( ).

n- главное квантовое число (n=1,2,3…).

l- азимутальное (орбитальное) квантовое число (l=0,1,2,…,n-1). l принимает n различных значений.

m- магнитное квантовое число ( ). m принимает 2l+1 различных значений.

Сколько может быть различных состояний электрона с одним и тем же значением n?

Не может быть двух состояний (электронов), в которых все квантовые числа одинаковые.

Под термином: «различные квантовые состояния» понимаются состояния, которые отличаются значение хотя бы одного квантового числа.

Это есть принцип Паули для электрона в атоме (n²).

( )-обозначение двух противоположных направления собственных спиновых моментов (Mzs).

Состояние с l=0 называется s–состоянием; с l=2 называется р–состоянием; с l=3 называется d–состоянием.

Физический смысл квантовых чисел.

1. n- главное квантовое число (=1,2,3…). Определяет энергию . Данная величина дискретная, строго определенная.

2. l- азимутальное (орбитальное) квантовое число (l=0,1,2,…,n-1). Определяет момент импульса на орбите (орбитальный механический момент). Определяет форму орбиты.

Рис.1.8.

М плоскости орбиты. Из уравнения Шредингера следует . Данная величина дискретная, строго определенная.

3. m- магнитное квантовое число ( ). Определяет проекцию момента импульса на ось. Определяет ориентацию орбиты в пространстве. Mz=m - дискретная величина.

Рис.1.9.

Пример.

Электрон находится в р-состянии (l=1, m=0, 1). Следовательно, Mz=0, Mz=+ ;-

Итак.

1. , описывающая поведение электрона в атоме, является функцией трех квантовых чисел, так как электрон в атоме имеет три степени свободы.

2. В каждом квантовом состоянии, которому соответствуют определенные значения квантовых чисел l, m и n, электрон обладает определенными (дискретными) значениями трех характеристик: En, M, Mz.

3. В 1930г. Гауцмитом и О… было установлено, что электрон обладает собственным механическим моментом, который получил название спина.

Msz=m_s ; m_s= S

m_s- спиновое магнитное квантовое число.

S- спиновое число.

Sэл=1/2; Mzs=

Mzs- проекция на заданное направление.

Полный момент электрона

4. С у четом спина полный набор квантовых чисел есть n,l,m. Первые три связаны с движением электрона в атоме, четвертый – с собственным свойством электрона.

Полный набор собственных характеристик электрона тоже 4: E, M, Mzs, Mz.

5. Так как в каждом квантовом состоянии электрон имеет две ориентации спина, то число различных квантовых состояний, соответствующих определенному значению n будет 2n² – принцип Паули для электрона в атоме.

6. Так как зависит от квантовых чисел, смысл которых разобран, то, следовательно, известно значение . А, зная , можно рассчитать вероятность обнаружения электрона в атоме водорода в различных квантовых состояниях.

Рис.2.

Следовательно, радиусы боровских орбит соответствуют расстояниям, на которых максимальна вероятность обнаружения электрона в атоме, но электрон может быть ближе и дальше этого расстояния с меньшей вероятностью. Следовательно, движение электрона в атоме есть некое электронное облако (форму определяет l), плотность которого максимальна на расстояниях, соответствующих боровским радиусам орбит. Вкладывая такой смысл в боровские радиусы, можно сохранить понятие орбит.

7. Отличительные особенности квантовой механики: вероятность поведения частиц, и дискретность всех характеристик частиц.

Рис.2.1