2.4 Понятие об интерполяции сплайнами

Одним из недостатков интерполяции алгебраическими полиномами (например Лагранжа) является то, что интерполирующая функция не всегда сходится к исходной интерполируемой функции (сигналу). В связи с этим повышенный интерес в последнее время привлекают классы полиномиальных сплайнов. К основным достоинствам интерполяции сплайнами относят: хорошую сходимость и возможность согласования гладкости исходного сигнала с гладкостью сплайна за счет учета производных, удобство реализации на ЭВМ построенных на их основе алгоритмов. При решении задач интерполяции сплайны трактуются как некоторые гладкие кусочно-многочленные функции с однородной структурой (составленные из полиномов одной и той же степени). Термин сплайн произошел от английского spline, что в переводе означает рейка – приспособление, которое чертежники применяли для проведения гладких кривых через данные точки. При интерполяции сигнала s(t) всегда предполагается, что он имеет l абсолютно непрерывных производных. Прежде чем перейти к математическому определению сплайна, отметим следующее. Из теории дискретного представления известно, что в качестве координат сигнала s(t) могут использоваться выборки сигнала s(t _k) и l ее производных в каждой из последовательности t _k точек опроса, по которым он может быть восстановлен. Причем расстояние между отсчетами координат может быть взято значительно больше, чем при дискретизации только выборками. В частности, при дискретизации сигналов с ограниченной шириной спектра F_c это расстояние

T_o = (l+1)/(2 F_c) (1.8)

где l – число первых производных сигнала s (t).

Пусть на наблюдаемом отрезке [0, Т] задано временное разбиение

:0 = t₀ < t₁ < t₂ < …< t _k = T. Функцию S _{n. d} (t) называют сплайном степени n дефекта d (где d – целое число, 0 с узлами на сетке , если на каждом отрезке (t _i, t _i+1) функция S _{n. d} (t) является полиномом степени n:

S _{n. d} (t) = для (1.9)

и S _{n. d} (t) (1.10)

где - множество (n – d) раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [0, Т] функций.

Первое условие непрерывности (n – d) производных сплайна в интервале [0,Т].

1. Соответственно сплайн на сетке можно представить в виде

(1.11)

т.е. как объединение k полиномов степени n в интервале [0, Т]. Сплайн с дефектом d=1 называют простым.

Восстановленный сигнал представляет собой сплайн – функцию, которая в каждом интервале между отсчетами:

S _{n. d} (t)= (1.12)

Для вычисления коэффициентов _i разработаны алгоритмы и стандартные программы. В заключение заметим, что методы теории сплайн – функции в последние годы широко используются не только при решении задач интерполяции, но и в других областях: машинной графике, автоматизации проектирования, идентификации и обработки сигналов, кодировании.

2 Расчетная часть

Модуль 2 – «Математические модели сообщений, сигналов и помех»

Тема – «Дискретизация непрерывных сигналов по В.А. Котельникову»

Содержание:

1.1 Расчет интервала дискретизации по теореме В.А.Котельникова и построение графика непрерывного сигнала.