2.2 Погрешности, возникающие при дискретизации, квантовании и воспроизведении непрерывных сигналов

Никакое достижение в науке и технике не дается даром; так обстоит дело в вопросе дискретизации непрерывных сигналов. Преимущества дискретизации рассмотрены выше, о недостатках там не было сказано ни слова. Обратимся к этому.

Указанные преимущества достигаются следующей ценой: вносятся дополнительные погрешности при передаче сообщения; они возникают на этапах дискретизации по времени, квантования, но уровню и при прохождении импульсов – отсчетов через ФНЧ на выходе приемника.

Этих погрешностей не было бы только при следующих обстоятельствах: бесконечно малая ширина импульсов В.А. Котельникова при бесконечно большом их количестве; шаг квантования (интервал между соседними уровнями квантования) равен бесконечно малой величине, число уровней неограниченно велико; ФНЧ (дедискретизатор) - идеальный. Но эти обстоятельства отсутствуют в реальной системе связи и никогда не могут быть осуществлены. А, значит, указанные погрешности необратимы.

Численное определений их для реальных условий и систем не представляет сложную задачу. Дело в том, что отличие выходного сигнала Uн(t) от входного Uн(t) есть функция многих переменных: многочисленных искажений, вносимых собственно каналом связи, и большого количества помех (внутренних и внешних). Для определения изменения выходного сигнала ΔUн(t) только за счет рассматриваемых (трех) погрешностей необходимо было бы исключить все искажения и помехи (что невозможно осуществить). В этом случае общая погрешность равнялась бы

ε₀(t)=f[ε_Д(t),ε_к(t),ε_фнч(t)] (1.3)

где ε_Д(t) – искажения сигнала за счет дискретизации по времени; ε_к(t) – погрешность, вносимая квантованием по уровню; ε_фнч(t) – искажения, обусловленные неидеальностью ФНЧ на выходе приемника (дедискретизатора). При конкретных условиях и детерминированном сигнале анализируемые погрешности поддаются расчету. Так, погрешность за счет дедискретизации по времени определяется следующим образом:

(1.4)

где Uн(tx) – истинное значение сигнала в точке t_x оси времени, Uд(tx) – значение сигнала в указанной точке, найденное с помощью вида Котельникова.

Суммарная погрешность за счет дискретизации по времени и квантования по уровню определяется по той же формуле, но при нахождении U_д(tx) амплитуды импульсов U(kΔt), входящих в ряд (2), стоит брать не истинные, а округленные до ближайшего уровня квантования. Для определения погрешности, вносимой дедискретизатором (ФНЧ), можно поступить следующим образом: найти его по выражению

ε_ФНЧ(t)=1/t_с∫[U_ФНЧ(t) – U_н(t)]dt (1.5)

где U_н(t) – детерминированный сигнал на входе канала связи, U_фнч(t) – временное изображения сигнала, прошедшего через реальный ФНЧ.

2.3 Простейшие виды интерполяции алгебраическими полиномами

Задача интерполирования алгебраическими полиномами обычно формулируется так. Если на интервале интерполирования длительностью Т=NТ_о заданы N +1 точек опроса 0, 1, 2, …,N и значения выборок в этих точках s (t_о), s (t₁),…, s (t _N), то можно построить алгебраический полином p _N (t) степени N, который будет проходить через N +1 заданные точки, принимая значения s (t _k ).

При интерполяции алгебраическими полиномами интерполирующая функция

(1.6)

Для того чтобы найти коэффициент многочлен (2.1), необходимо составить и совместно решить систему из (N + 1) уравнений вида:

(1.7)

где k=0, 1, 2,…, N.

Соответственно при использовании полинома Лагранжа нулевой (N=0), первой соответственно (N=1) и второй (N=2) степеней различают ступенчатую, линейную и квадратичную интерполяции. Наиболее простым видом интерполяции, при которой используется алгебраический полином нулевой степени, является ступенчатая интерполяция. Как показывает само название, при ступенчатой интерполяции непрерывная функция s(t) заменяется ступенчатой, т. е. восстановление сигнала ведется при помощи горизонтальных линий, длина которых равна периоду дискретизации (рисунок 1.6). Ступенчатая интерполяция может быть симметричной и несимметричной. При одинаковых условиях симметричная интерполяция обеспечивает более высокую точность восстановление, но ее реализация более сложна. Ступенчатый несимметричный интерполятор состоит из устройств задержки на период дискретизации, вычитающего устройства и интегратора. На вход интерполятора подаются выборки в виде - импульсов. Под их действием на выходе интегратора образуется скачок напряжения с амплитудой, равной площади - импульса (амплитуде выборки или разности выборок). Работу ступенчатого интерполятора поясняют эпюры напряжения приведенные на рассматриваемом рисунке. При линейной интерполяции используется алгебраический полином первой степени и смежные дискретные выборки соединяются прямой линией. В результате непрерывное сообщение заменяется сообщением, состоящим из отрезков прямых линий (рисунок 1.6). Иногда линейную интерполяцию называют полигональной. Линейная интерполяция вносит запаздывание на период опроса Т_о. Линейный интерполятор может быть получен применением двухкаскадного ступенчатого интерполятора. При использовании алгебраического полинома бесконечной степени весовая функция уписывается функциями отсчета Котельникова (1.7). Интерполятор такого типа должен представить собой бесконечную цепочку схем (рисунок 1.7) и давать бесконечную задержку.

Рисунок 1.7