Глава 4. Комбинаторика

4.3. Введение в теорию вероятностей

4.3.3. Условная вероятность

До сих пор мы рассматривали независимые события: действительно, число, выпавшее на грани кубика, никак не зависит от предыдущего броска. Но рассмотрим другой случай.

Пример 1

Пусть пять учеников вытягивают на экзамене пять билетов, один из которых очень лёгкий. Какова вероятность для того, кто идёт третьим, вытащить удачный билет?

Показать решение

Напомним, что:

p (AB) = p (B) · p (A | B).

 

Для условной вероятности можно записать так называемую формулу полной вероятности: p (B) = p (B | A1) p (A1) + p (B | A2) p (A2) + p (B | A3) p (A3) + … + p (B | Ak) p (Ak). Здесь A1, A2, A3, …, Ak – попарно несовместные события, сумма A1 + A2 + A3 + … + Ak – достоверное событие.

Таким образом, для вычисления полной вероятности события B нужно перечислить все условия A_i, при которых может наступить B, и перемножить вероятности этих условий на соответствующие им условные вероятности p (B | A_i).

В случае, когда события независимы, p (AB) = p (B | A) · p (A) = p (B) · p (A).

Пример 2

Вернемся к примеру с пятью билетами. Допустим, что после того, как ученик взял билет, он кладёт его обратно. Поставим два вопроса: какова вероятность того, что третьему ученику попадётся самый простой билет, и какова вероятность того, что он достанется первым трём ученикам?

Напомним, что, по определению независимых событий, p (A_iA_k) = p (A_i) p (A_k).

Если билеты возвращаются обратно, то мы имеем дело с независимыми событиями. Тогда безо всяких вычислений ясно, что для третьего ученика вероятность удачи равна 1/5, для всех троих – (1/5)³. Таким образом, для независимых событий

p (ABC) = p (A) · p (B) · p (C).

 

Можно привести и другую формулировку формулы полной вероятности.

Обозначим вероятность того, что событие B вызвано именно событием A₁, p (x). Для того, чтобы вычислить p (x), разделим количество случаев B, вызванных A₁, на общее количество случаев B. Получим:

Пусть событие B может быть вызвано набором причин Ai. Тогда вероятность того, что к событию B привело событие Ai, пропорциональна произведению вероятности соответствующей причины на вероятность следствия.

Пример 3

Пусть из 10 урн в 5 урнах лежат только белые шары, в 2 урнах – только чёрные, а в 3 – одинаковое количество чёрных и белых шаров. Вытащим из произвольной урны один шар. Обозначим через A₁ тот факт, что мы вытащили шар из первых пяти урн, через A₂ – то, что мы вытащили шар из 2 урн с чёрными шарами, через A₃ – то, что мы вытащили шар из одной из «смешанных» урн. Вероятность того, что вытаскивается белый шар (событие B), равна:

Тогда, если мы вытащили белый шар, то:

• с вероятностью этот шар – из урн, в которых лежат только белые шары;

• с вероятностью этот шар – из урн, в которых лежат только чёрные шары;

• с вероятностью этот шар – из урн, в которых лежат и белые, и чёрные шары.

Пример 4 (Задача Пункаре)

В игорном клубе половина игроков честные, половина – шулеры. Вероятность вытащить из колоды короля равна 1/8. Для шулера эта вероятность равна 1. Сидящий перед вами игрок вытаскивает из колоды короля с первого раза. С какой вероятностью перед вами шулер?

Решение

Пусть событие A заключается в том, что из колоды вытянут король, B – в том, что игрок шулер. Тогда событие заключается в том, что игрок честный, и p (A | B) = 1,  Если взять первого попавшегося игрока, то он вытянет короля с вероятностью Обозначим через X событие, заключающееся в том, что игрок, вытянувший короля, – шулер. Тогда Пуанкаре комментирует задачу словами, что, к счастью, обычно шулеров гораздо меньше, чем честных игроков.

Понятие «условная вероятность» требует введения четвёртой, последней аксиомы вероятностей:

4. Аксиома умножения вероятностей. Вероятность произведения событий p (AB) = p (B | A) p (A).