2. Спектральная плотность

Спектральная плотность (spectral density) характеристик сигнала – это распределение энергии или мощности сигнала по диапазону частот. Используя теорему Парсеваля, можно связать энергию сигнала, выраженную во временной области, с энергией, выраженной в частотной области:

(2.16)

где |X(f)| - Фурье-образ непериодического сигнала x(t).

Величина является спектральной плотностью энергии сигнала x(t) , описывает энергию сигнала на единицу ширины полосы и измеряется в ДЖ/Гц.

Спектральная плотность мощности периодического сигнала дает распределение мощности сигнала по диапазону частот и определяется как :

(2.17)

Для непериодических сигналов можно выразить спектральную плотность мощности в пределе:

(2.18)

Пример

Найдите среднюю нормированную мощность сигнала , используя усреднение по времени.

Используя уравнение (2.5) получим:

2. Случайные процессы

Случайный процесс X(A,t) можно рассматривать как функцию двух переменных: события А и времени. На рисунке 2.6 представлен пример случайного процесса Каждую из N выборочных функций времени можно рассматривать как выход отдельного генератора шума. Для каждого события есть единственная функция времени , т.е. выборочная функция. Совокупность всех выборочных функций называется ансамблем. Поскольку значение случайного процесса в каждый последующий момент времени неизвестно, случайный процесс, функции распределения которого непрерывны, можно описать статистически через плотность вероятности.

Для нужд систем связи часто достаточно частичного описания, включающего среднее и функцию автокорреляции.

Определим среднее случайного процесса X(t) как

(2.19)

где - случайная переменная, полученная при рассмотрении случайного процесса в момент времени t_k

- плотность вероятности (плотность по ансамблю событий в момент времени t_k).

Определим корреляционную функцию случайного процесса X(t) как функцию двух переменных t₁ и t₂:

(2.20)

где - случайные переменные, получаемые при рассмотрении X(t) в моменты времени t₁ и t₂ соответственно. Автокорреляционная функция – это мера связи двух временных выборок одного случайного процесса.

Случайный процесс называется стационарным в строгом смысле, если ни на одну из его статистик не влияет перенос начала отсчета времени. Случайный процесс называется стационарным в широком смысле, если две его статистики, среднее и автокорреляционная функция, не меняются при переносе начала отсчета времени:

=константа

(2.21)

Для вычисления среднего и корреляционной функции путем усреднения по ансамблю нужно иметь полную информацию о взаимном распределении функций плотности вероятности. В общем случае, как правило, такая информация недоступна.

Если случайный процесс принадлежит к особому классу, называемому классом эргодических процессов, его среднее по времени равно среднему по ансамблю и статистические свойства процесса можно определить путем усреднения по времени одной выборочной функции процесса.

Для эргодических процессов фундаментальные электротехнические параметры могут быть связаны с моментами процесса:

1. Величина равна постоянной составляющей сигнала

2. Величина равна нормированной мощности постоянной составляющей

3. Момент второго порядка равен общей средней нормированной мощности

4. Величина равна среднеквадратическому значению сигнала, выраженного через ток или напряжение

5. Дисперсия равна средней нормированной мощности переменного сигнала

6. Если среднее процесса равно нулю, а дисперсия равна среднеквадратическому значению, то дисперсия представляет общую мощность в нормированной нагрузке.

7. Среднеквадратическое отклонение является среднеквадратическим значением переменного сигнала