10.3 Согласованный фильтр

Согласованный фильтр (matched filter) – это линейное устройство, спроектированное, чтобы давать на выходе максимально возможное для данного передаваемого сигнала отношение сигнал/шум. Импульсная характеристика такого фильтра h(t) является зеркальным отображением сигнала сообщения s(t), запаздывающим на время передачи символа Т. Запаздывание на Т секунд делает h(t) функцией положительного времени ( рисунок 10.6)

Рисунок 10.6 Импульсная характеристика согласованного фильтра

Выход z(T) причинного фильтра во временной области можно описать как свертку принятого входного сигнала r(t) с импульсной характеристикой фильтра.

Почему импульсная характеристика фильтра представляет собой зеркальное отображение сигнала? При представлении упорядоченных во времени событий существует проблема путаницы между самым старшим битом и самым младшим. На рисунке 10.7, а показано, как обычно изображается функция времени: самое раннее событие представлено слева, а наиболее позднее – справа. На рисунке 10.7, б показано, как импульсы поступают в сеть (или канал) и покидают ее. Здесь самое раннее событие изображено справа, а наиболее позднее – слева. Обращение во времени импульсной характеристики согласованного фильтра можно рассматривать как «предварительную коррекцию», чтобы поступающий сигнал и импульсный отклик фильтра шли «нога в ногу» ( ранний с ранним, поздний с поздним).

Довольно часто термин «согласованный фильтр» используется как синоним термина «коррелятор». Дело в том, что свертка в согласованном фильтре с обращенной во времени функцией дает еще одно обращение во времени, подавая на выход 9в конце интервала передачи символа) то, что является корреляцией сигнала с собственной копией. Выходы коррелятора и согласованного фильтра одинаковы только в момент времени t=T.

Для синусоидального входа выход коррелятора на промежутке приблизительно описывается линейной функцией, а выход согласованного фильтра приблизительно описывается синусоидой, амплитуда которой в том же промежутке времени модулирована линейной функцией ( рисунок 10.8).

а) б)

Рисунок 10.7 Дилемма в представлении упорядоченных во времени событий

Рисунок 10.8 Сравнение выходов коррелятора и согласованного фильтра

Поскольку при соизмеримых входах выходы согласованного фильтра и коррелятора идентичны в момент взятия выборки t=T, функции согласованного фильтра и коррелятора часто используются как взаимозаменяемые.

Задача 10.5

а) Опишите импульсную характеристику согласованного фильтра, используемого для обнаружения дискретного сигнала, изображенного на рисунке 10.9. Какой сигнал на выходе с фильтра получается при подаче данного сигнала на вход? Воздействием шума можно пренебречь. Чему равно значение на выходе?

б) Предположим, что при реализации согласованного фильтра каналы случайно соединены так, что фильтр дает корреляцию ( а не свертку) сигнала и его обращенной во времени копии. Покажите выход как функцию времени. Чему равно максимальное значение на выходе? При данных условиях максимальное значение на выходе появляется в другой момент времени, чем в п. а).

в) С помощью значений на выходе неверного фильтра, описанного в п.б) по сравнению с корректными значениями из п.а), можно ли найти ключ, который поможет предсказать, появляется ли некоторая последовательность с выхода правильного или неправильного фильтра?

Рисунок 10.9 Дискретный сигнал

Решение

Импульсная характеристика согласованного фильтра ( рисунок 10.10) представляет собой зеркальное отображение сигнала.

Рисунок 10.10 Импульсная характеристика фильтра, согласованного с дискретным сигналом рисунка 10.9.

Рисунок 10.11 Сигнал на выходе фильтра, согласованного с сигналом рисунка 10.9

Максимальное значение на выходе «правильного» согласованного фильтра ( рисунок 10.11) равно 900 ( появляется в момент времени к=3).

.

Рисунок 10.12 Выходной сигнал «неправильного» фильтра ( пункт б)

Максимальное значение на выходе «неправильного» согласованного фильтра ( рисунок 10.12) равно 400 ( появляется в момент времени к=2).

«Ключом» предсказания появления последовательности с выхода «правильного» фильтра служит сумма значений энергии импульсов. Для «правильного» фильтра ( рисунок 10.10) эта сумма равна 100+400+900=1400, а для «неправильного» фильтра эта сумма равна 300+400+300=1000.

Лекция 11