10.2 Вероятность ошибки

Детектор, минимизирующий вероятность ошибки для классов равновероятных сигналов, называется детектором максимального правдоподобия. В процессе принятия бинарного решения, показанного на рисунке 10.2 , существует две возможности возникновения ошибки. При передаче сигнала ошибка происходит при выборе гипотезы (заштрихованная область слева от на рисунке 10.2). При передаче сигнала ошибка происходит при выборе гипотезы . Для равных априорных вероятностей (т.е. имеем следующую вероятность битовой ошибки:

(10.6)

Используя симметричность плотностей вероятности можно записать:

(10.7)

Вероятность появления ошибочного бита численно равна площади «под хвостом» любой функции правдоподобия, или , «заползающим» на «неправильную» сторону порога. Таким образом, для вычисления можно проинтегрировать от до или от до . Если выбрать второй вариант и заменить правдоподобие его гауссовским эквивалентом, то вероятность битовой ошибки можно записать как:

(10.8)

где - дисперсия шума вне коррелятора

Сделав замену ; получим

(10.9)

где (10.10) называется гауссовским интегралом ошибок и часто используется при описании вероятности с гауссовской плотностью распределения. Функция Q(x) приведена в таблице приложения 1.

Аппроксимация функции Q(x) :

(10.11)

справедлива для значений x>3. Программа для пакета MATLAB вычисления значений аппроксимированной функции Q(x) приведена в приложении 2.

При униполярной передаче сигналов ( ортогональный случай), когда =А; =0 вероятность появления ошибочного бита равна:

(10.12)

Для биполярной передачи сигналов ( антиподный случай) , когда =А; =-А вероятность битовой ошибки равна:

(10.13)

Задача 10.1

Равновероятные двоичные импульсы в кодировке RZ когерентно обнаруживаются в гауссовом канале с N_o=10^-8 Вт/Гц. Предполагается, что синхронизация идеальна, амплитуда принятых импульсов равна 100мВ и вероятность ошибки Р_в=10^-3; найдите наибольшую скорость передачи данных, возможную в описанной системе.

Решение

Сигналы в кодировке RZ можно рассматривать как униполярные ( ортогональные), поэтому можно записать выражение для вероятности битовой ошибки как:

Р_в=Q

Из таблицы приложения 1 найдем значение Q=3,08. Получим, что

=3.08; откуда и энергия бита E_b=9.5 ;

В то же время энергия бита равна:

Е_б=

Мощность сигнала при нормировке к сопротивлению 1 Ом найдем как :S=U²=10000

Теперь найдем битовую скорость передачи данных как

R= =1.0526

Задача 10.2

Двоичная система связи передает сигналы s_i(t) (i = 1.2). Тестовая статистика приемника z(T)= , где компонент сигнала а_i равен а₁=+1 или а₂=-1, а компонент шума n₀ имеет равномерное распределение. Плотности условного распределения p(z|s_i) даются выражениями:

p (z|s₁)= p (z|s₂) =

Определите вероятность появления ошибки для равновероятной передачи сигналов и использования оптимального порога принятия решения.

Решение

На рисунке 10.5 показаны функции правдоподобия, заданные в условии. Оптимальный порог рассчитаем как

Вероятность появления ошибочного бита численно равна площади под «хвостом» любой функции правдоподобия, «заползающей» на «неправильную» сторону порога, т.е. площади заштрихованной на рисунке 10.4 области:

Рисунок 10.5 Плотности условных вероятностей

Задача 10.3

Биполярный двоичный сигнал s₁(t) – это импульс +1 или -1 В на интервале (0, Т). К сигналу добавляется белый аддитивный гауссов шум с двусторонней спектральной плотностью мощности 10^-3 Вт/Гц. Если обнаружение принятого сигнала производится помощью согласованного фильтра, определите максимальную скорость передачи битов, которую можно поддерживать при вероятности появления ошибочного бита P_B 10^-3.

Решение

Аналогично решению задачи 10.1.

Для антиподных сигналов P_B =Q( )=10^-3

=3.08 E_б = =0.005 Вт/Гц

S = U² =1 Вт мощность сигнала

Е_б = = = 200 бит/с

Максимальная скорость передачи битов при вероятности появления ошибочного бита P_B 10^-3 должна быть 200 бит/с.

Задача 10.4

Двоичные импульсы в кодировке NRZ передаются по кабелю, ослабляющему сигнал на 3 дБ (на пути от передатчика к приемнику). Эти импульсы когерентно обнаруживаются приемником, а скорость передачи данных равна 56 . Шум считать гауссовым с = 10 . Чему равна минимальная мощность, необходимая для передачи с вероятностью ошибки Р =10 ?

Решение

Для антиподных сигналов Из таблицы приложения 1 находим, что для функция Q=3,08. Отсюда . Так как Е_б=

Средняя мощность сигнала Вт, что при переводе в децибелы равно:

С учетом ослабления сигнала минимальная мощность, необходимая для передачи равна или при переводе в Ватты:

или

S=1,75 Вт