3. Устойчивость линейных дискретных систем (лдс)

Соотношение вход-выход в ЛДС описывается линейным уравнением. Взаимосвязь между х и у ЛДС, приведенной на рисунке 4.9, описывается разностным уравнением (РУ) вида:

(4.2)

где - коэффициенты уравнения (вещественные константы);

- воздействие и реакция на это воздействие, задержанные на i и k периодов соответственно.

Воздействие Реакция

Рисунок 4.9 Схема линейной дискретной системы

ЛДС называется рекурсивной, если хотя бы один из коэффициентов не равен нулю. Порядком рекурсивной ЛДС называют порядок РУ.

Реакция y(n) рекурсивной ЛДС в каждый момент времени определяется:

• Текущим отсчетом воздействия x(n)

• Предысторией воздействия x(n-i), i=1,2,…,N-1

• Предысторией реакции y(n-k),k=1,2,…,M-1

Импульсная характеристика рекурсивной ЛДС имеет бесконечную длительность (БИХ-система).

Структурная схема рекурсивной ЛДС второго порядка состоит из элементов задержки, умножителей на константу и сумматора (см. рисунок 4.10).

x(n) y(n)

Рисунок 4.10 Структурная схема рекурсивной ЛДС второго порядка

ЛДС называется нерекурсивной, если все коэффициенты РУ равны нулю.

Реакция нерекурсивной ЛДС в каждый момент времени определяется:

• Текущим отсчетом воздействия х(n)

• Предысторией воздействия x(n-i)

Импульсная характеристика нерекурсивной ЛДС имеет конечную длительность (КИХ-система) (см. рисунок 4.11).

Оценка устойчивости ЛДС базируется на утверждении, что ограниченное воздействие должно приводить к ограниченной реакции и может проводиться по:

• Импульсной характеристике – нерекурсивные системы всегда устойчивы. БИХ-системы требуют анализа на устойчивость.

• Z- изображению импульсной характеристики.

Рисунок 4.11 Структурная схема нерекурсивной ЛДС второго порядка

Передаточная функция (ПФ) ЛДС

Для звена второго порядка (4.3)

Нулями (0) ПФ называют значения z, при которых H(z)=0.

Особыми точками (*), полюсами ПФ называют значения z, в которых знаменатель ПФ равен нулю.

Комплексно-сопряженные полюсы находятся в виде:

(4.4.)

где радиус ;

угол

Вещественные или комплексно-сопряженные нули находятся в виде:

(4.5)

или в показательной форме:

(4.6)

где радиус ;

угол

Частотной характеристикой (ЧХ) ЛДС называется зависимость отношения реакции к дискретному гармоническому воздействию в установившемся режиме.

Модуль ЧХ называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ)

АЧХ – это частотная зависимость отношения амплитуды реакции к амплитуде дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме.

(4.7)

Аргумент ЧХ называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ) .

ФЧХ – это частотная зависимость разности фаз реакции и дискретного гармонического воздействия в установившемся режиме.

(4.8)

Для оценки АЧХ звена второго порядка достаточно построить ее график по пяти точкам:

• Двум – на границах основной полосы

• Одной- уточняющей – по середине основной полосы

• Двум – внутри основной полосы, соответствующим максимуму и минимуму (либо нулю) АЧХ.

Определим значения АЧХ и ФЧХ в указанных точках.

1. В точке =0

;

2. В точке =

;

3. В точке = /2

;

4. В точке = определяется местоположение максимума АЧХ :

5. В точке = определяется местоположение минимума АЧХ : при значении . Если в точке , имеется не минимум, а нуль АЧХ и скачок ФЧХ на .

Анализ АЧХ по карте нулей и полюсов:

• Если ПФ звена второго порядка имеет два комплексно-сопряженных или два вещественных полюса, то максимум АЧХ находится внутри или на границах (два максимума) основного диапазона

• Если ПФ звена второго порядка имеет два комплексно-сопряженных или два вещественных нуля, то минимум АЧХ находится внутри или на границах (два минимума) основного диапазона

• Расположение нулей, не лежащих на единичной окружности, приблизительно указывает частоты, на которых АЧХ имеет минимум.

• Расположение нулей на единичной окружности определяет частоты, на которых АЧХ равна нулю, а ФЧХ делает скачок на . Нуль является наименьшим значением, но не минимумом АЧХ.

• Абсолютная величина полюса влияет на крутизну АЧХ. Если она велика, крутизна АЧХ также велика.

Лекция 5