Дискретизация аналоговой информации
Аналоговый сигнал и его дискретная версия связаны процессом дискретизации ( sampling process). Рассмотрим способы дискретизации аналогового сигнала
1. Естественная дискретизация. Ее можно рассматривать как включение и выключение коммутатора в определенные моменты времени. В этом случае вершина каждого импульса в течение интервала его передачи имеет форму соответствующего аналогового сегмента.
Рисунок 3.4 Процесс естественной дискретизации аналогового сигнала
2.
«Выборка-хранение»
(sample-and-hold) . Умножаем
исходный сигнал на последовательность
дельта-функций и проделываем операцию
свертки с прямоугольным импульсом p(t),
имеющим единичную амплитуду и ширину,
равную
( рисунок 3.5)
Рисунок 3.5 Процесс дискретизации «выборка-хранение»
Преимущества реализации процесса дискретизации методом «выборка-хранение»:
Выборка-хранение дает дискретную последовательность импульсов с плоским верхом и затухание высокочастотных спектральных копий, что весьма желательно.
После операции выборки-хранения требуется дополнительная фильтрация, позволяющая подавить остаточные спектральные компоненты, кратные частоте дискретизации.
За счет выбора функции p(t) можно получить неоднородное усиление (подавление) спектра нужной полосы частот, а после фильтрации это подавление можно компенсировать путем применения функции, обратной p(t).
Результатом
процесса дискретмзации является сигнал
в амплитудно-импульсной модуляции
(pulse-amplitude
modulation — РАМ). Такое
название возникло потому, что выходящий
сигнал можно описать как последовательность
импульсов с амплитудами, определяемыми
выборками входящего сигнала. Аналоговый
сигнал можно восстановить (с определенной
степенью точности) из модулированного
сигнала путем прохождения последнего
через фильтр нижних частот. Важно знать,
насколько точно отфильтрованный
модулированный сигнал совпадает с
исходным аналоговым сигналом? Ответ на
этот вопрос дает теорема о дискретном
представлении (sampling
theorem), которая формулируется
следующим образом: сигнал с ограниченной
полосой, не имеющий спектральных
компонентов с частотами, которые
превышают
Гц, однозначно определяется значениями,
выбранными через равные промежутки
времени.
с
(3.5)
При другой
формулировке верхний предел
можно выразить через частоту дискретизации
(sampling rate)
.
В этом случае получаем ограничение,
именуемое критерием Найквиста или
теоремой Котельникова:
(3.6)
Частота
дискретизации
также называется частотой Найквиста.
Критерий Найквиста — это теоретическое
достаточное условие, которое делает
возможным полное восстановление
аналогового сигнала из последовательности
равномерно распределенных дкскретных
выборок .
После
выбора частоты дискретизации каждая
спектральная копия отделяется от
соседних полосой частот, равной
Гц, и аналоговый сигнал полностью
восстанавливается из выборок путем
фильтрации. В то же время для выполнения
этого потребовался бы идеальный фильтр
с абсолютно крутыми фронтами. Очевидно,
что если
копии отдалятся (в частотной области),
как показано на рисунке 3.6,а, и это
облегчит операцию фильтрации. На рисунке
также показана типичная характеристика
фильтра нижних частот, который может
использоваться для выделения спектра
немодулированного сигнала. При уменьшении
частоты дискретизации до
копии начнут перекрываться, как показано
на рисунке 3.6,6, и информация частично
будет потеряна. Явление, являющееся
результатом недостаточной частоты
выборки (выборки, производимой очень
редко), называется наложением (aliasing).
Частота Найквиста
— это предел, ниже которого происходит
наложение; чтобы избежать этого
нежелательного явления, следует
удовлетворять критерий Найквиста.
.
Повышение частоты дискретизации позволяет устранить наложение путем разделения спектральных копий. Существуют специальные фильтры для защиты от наложения (antialiasing filters), фильтрующие как аналоговый сигнал, так и сигнал после дискретизации. Но реализуемые фильтры требуют нулевой полосы для перехода между полосой пропускания и полосой затухания. Но при минимизации полосы перехода резко возрастает сложность фильтров и их стоимость, поэтому оптимальной полосой перехода считается 10-20% от ширины полосы сигнала, Рассчитав частоту дискретизации Найквиста для 20% ширины перехода фильтра защиты от наложения спектров, получим инженерную версию критерия Найквиста :
(3.7)
Задача
Сигнал
дискретизованный в соответствии с
теоремой Котельникова, имеет два
ненулевых отсчета, изображенных на
рисунке 3.6. Вычислите мгновенное значение
исходного аналогового сигнала в момент
времени t=1мкс.
Рисунок 3.6 Выборки дискретизованного сигнала
Решение
В
соответствии с рисунком определяем
интервал дискретизации
с., откуда находим верхнюю частоту в
спектре сигнала
рад/с. Ряд Котельникова рассматриваемого
сигнала имеет вид:
,
из
которого при t=10-6
с. Получаем
=22,2
В.
Задача
Дан
аналоговый сигнал, который выбирался
с частотой Найквиста
посредством естественной дискретизации.
Докажите, что сигнал, пропорциональный
исходному сигналу, может быть восстановлен
из выборок с использованием метода,
показанного на рисунке3.7 . Параметр
-
это частота локального осциллятора,
причем m
- целое.
Рисунок 3.7
Решение
По
свойству трансляции частоты преобразования
Фурье на выходе гетеродина получаем
спектр исходного сигнала, периодически
повторяющийся по частоте с интервалом
Гц (рисунок 3.8).
ФНЧ
затем вырезает нужный спектр, находящийся
в частотном интервале [
].
Рисунок 3.8
Так как частота Найквиста равна удвоенной верхней частоте в спектре сигнала, то сигнал, пропорциональный исходному сигналу, может быть восстановлен.
В задаче предполагается идеальная передаточная характеристика фильтра. Однако реализуемые узкополосные фильтры не имеют строго ограниченной полосы, поэтому фильтруемые спектры всегда включают некоторое наложение ( как это показано на рисунке 2). Однако всегда можно определить полосу частот, вне которой спектральные компоненты сигнала затухают настолько, что ими можно пренебречь. Наложение спектров присутствует и при частоте дискретизации , где
- максимальная
частота в спектре сигнала. Копии спектра
немодулированного сигнала начнут
перекрываться, как это показано на
рисунке 2 и часть информации будет
потеряно. Для расчета ФНЧ используется
инженерная версия критерия Найквиста
.
Задача
Наложение не происходит, если частота дискретизации больше удвоенной ширины полосы сигнала. В то же время сигналов со строго ограниченной полосой не существует. Таким образом, наложение присутствует всегда.
а) Предположим, что фильтрованный сигнал имеет спектр, который описывается фильтром Баттерворта шестого порядка и верхней частотой среза fu = 1000 Гц. Какая частота дискретизации необходима для снижения наложения до точки -50 дБ в спектре мощностей.
б) Повторите п.а) для фильтра Баттерворта двенадцатого порядка.
Решение
Амплитудная характеристика фильтра в децибелах выражается как
|H(f)|
дБ = 10 lg
=
10*lg|H(f)|
где
- мощности на входе и выходе фильтра
соответственно
Переведем численное значение амплитудной характеристики фильтра в точке снижения наложения в разы
10*lg|H(f)| = -50
lg|H(f)|
= -
= -5
|H(f)|
= 10
=
0.00001
Фильтр Баттерворта, аппроксимирует идеальный фильтр нижних частот функцией
|Hn(f)| =
где - верхняя частота среза ( по уровню -3дБ); n – порядок фильтра
1) Для порядка фильтра Баттерворта n = 6 имеем
Решая это уравнение, получим, что
соотношение
Гц
Частота
дискретизации по теореме Найквиста
должна быть не менее двоенной верхней
частоты в спектре сигнала. Получаем
Гц.
2) Для порядка фильтра Баттерворта n = 12 имеем
Решая это уравнение, получим, что
соотношение
Гц
Частота
дискретизации по теореме Найквиста
должна быть не менее двоенной верхней
частоты в спектре сигнала. Получаем
Гц.
Лекция 4