3. Исходные данные для выполнения работы

В качестве исходных данных предлагается перечень показателей социально-экономического развития региона.

4. Порядок выполнения работы

Выполнение практической работы рекомендуется организовать по следующему алгоритму:

1. Изучить предоставленный перечень показателей. Выделить экономические агенты и соответствующие им показатели.

2. Определить логику взаимосвязи показателей каждого экономического агента.

3. Определить логику взаимосвязи экономических агентов.

4. Оформить графически логическую модель региональной социально-экономической системы. Обозначить показатели прямоугольными блоками, влияние обозначить стрелкой. При необходимости обозначить влияние показателя прошлого периода рекомендуется обозначить это пунктирной линией.

5. Убедиться в отсутствии показателей, которые не определяются ни одним другим показателем или самим собой прошлого периода (нет блоков, в которые не входит ни одна стрелка).

6. Оформить отчет.

Отчет должен содержать краткую вводную часть (порядка 0,5 страницы), формализованную логическую модель региональной социально-экономической системы, пояснения к схеме, расшифровку условных обозначений.

+Практическое занятие №4

Использование корреляционно-регрессионных методов при анализе временных рядов

1. Цель и задачи работы

2. Теоретическая часть

Форма занятия: практическое занятие.

Существуют различные виды и формы факторных связей. Их можно классифицировать по различным критериям – характеру, степени тесноты, направлению, виду аналитического выражения связи, количеству факторов в модели связи (рис. 1).

Рис.1. Классификация факторных связей.

Разновидности стохастических связей представляет классификационная схема на рис.2.

Рис.2. Классификация факторных связей по их характеру.

Корреляция — статистическая взаимосвязь двух или нескольких случайных величин (либо величин, которые можно с некоторой допустимой степенью точности считать таковыми). При этом, изменения одной или нескольких из этих величин приводят к систематическому изменению другой или других величин. Математической мерой корреляции двух случайных величин служит коэффициент корреляции.

Автокорреляция — статистическая взаимосвязь между случайными величинами из одного ряда, но взятых со сдвигом, например, для случайного процесса — со сдвигом по времени.

Некоторые виды коэффициентов корреляции могут быть положительными или отрицательными (возможна также ситуация отсутствия статистической взаимосвязи — например, для независимых случайных величин). Если предполагается, что на значениях переменных задано отношение строгого порядка, то отрицательная корреляция — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с уменьшением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть отрицательным; положительная корреляция в таких условиях — корреляция, при которой увеличение одной переменной связано с увеличением другой переменной, при этом коэффициент корреляции может быть положительным.

Исследование связи между признаками требует прежде всего проведения теоретического анализа существа изучаемого явления, включая формулировку задачи исследования, отбор факторных признаков Х, влияющих на результативный признак Y, выдвижение гипотезы о наличии корреляционной связи между результативным и факторными признаками.

По завершении теоретического анализа проводится анализ свойств совокупности единиц наблюдения (x_i, y_i). Необходимость такого анализа обусловлена тем, что для практического применения методов КРА должны выполняться определенные требования в отношении отбора единиц наблюдения:

1. однородность изучаемой статистической совокупности (например, для совокупности предприятий это однородность выпускаемой продукции, одинаковый характер технологического процесса, одинаковый тип используемого оборудования);

2. репрезентативность выборки единиц наблюдаемой совокупности, т.к. при малой выборке может быть "затушевано" действие случайных факторов, взаимопогашение которых происходит при расчете условных средних ;

3. достаточность объема эмпирических данных для выявления закономерности связи (число факторных признаков должно быть в 5-6 раз меньше объема изучаемой совокупности);

4. независимость включаемых в регрессионную модель фактор-признаков X₁, X_2, …, X_m, т. к. наличие связи между ними свидетельствует о том, что они характеризуют одни и те же стороны изучаемого явления и в значительной мере дублируют друг друга;

5. нормальный характер распределения изучаемого признака Y при фиксированных значениях признаков X₁, X_2, …, X_m.

В статистических исследованиях часто приходится сталкиваться с теми или иными отклонениями от указанных требований, однако практика показывает, что незначительные отклонения не являются препятствием к применению методов КРА.

Корреляционно-регрессионный анализ взаимосвязей признаков (показателей) включает следующие этапы:

1. установление факта наличия корреляционной связи изучаемых признаков, определение направления связи и эмпирическая оценка ее тесноты;

2. проверка статистической значимости (неслучайности) выявленной корреляционной связи;

3. выбор аналитической формы связи и построение математической модели связи в виде уравнения регрессии;

4. оценка статистической значимости коэффициентов построенного уравнения регрессии и определение их доверительных интервалов;

5. анализ адекватности построенной регрессионной модели связи;

6. экономическая интерпретация регрессионной модели связи.

На каждом из этапов КРА применяются соответствующие статистические методы и числовые характеристики.

1. Для установления факта наличия корреляционной связи факторного и результативного признаков используются методы:

• сопоставления рядов значений признаков X и Y;

• графического представления взаимосвязи признаков;

• корреляционных таблиц;

• аналитической группировки.

При использовании метода аналитической группировки оценивается (на основе данных аналитической таблицы) степень тесноты корреляционной связи признаков Х и Y, для чего рассчитываются специальные показатели:

r - линейный коэффициент корреляции⁵, измеряющий тесноту связи в предположении линейности взаимосвязи признаков Х и Y;

- эмпирическое корреляционное отношение, выступающее как универсальный показатель тесноты связи при любой форме связи (как линейной, так и нелинейной);

- эмпирический коэффициент детерминации (причинности), определяющий силу связи, т.е. оценивающий, насколько вариация результативного признака Y объясняется вариацией фактора Х.

Расчет показателей производится по формулам:

, , (12)

где - межгрупповая дисперсия результативного признака Y, обусловленная влиянием только фактора Х;

- общая дисперсия признака Y, обусловленная влиянием на Y всех факторов, включая Х;

n - число единиц наблюдения (т.е. число пар (x_i, y_i)), суммирование в показателе r производится по всем n наблюдаемым признакам.

Межгрупповая дисперсия признака Y определяется на основе данных аналитической таблицы по формуле

, (13)

где - общая средняя признака Y для всей совокупности;

- среднее значение признака Y в j-ой группе,

n_j - численность j-ой группы.

m - число выделенных групп;

Общая дисперсия признака Y вычисляется по формулам:

или , (14)

где ,

Для показателей силы и тесноты корреляционной связи характерны следующие свойства.

1. Значения показателей изменяются в пределах:

, ,

Чем ближе значения показателей к 1, тем теснее связь и больше сила связи.

Знак при r указывает на направление связи: знак «+» соответствует прямой линейной зависимости, знак «-» - обратной.

2. Для качественной оценки тесноты связи используется шкала Чэддока:

   Значение показателей тесноты связи ,	0,1-0,3	0,3-0,5	0,5-0,7	0,7-0,9	0,9-0,99
   Характеристика связи	слабая	умеренная	заметная	высокая	весьма высокая

3. Если =1 или =1, то корреляционная зависимость становится полной, т.е. функциональной (равенство показателей единице достигается при = , что означает отсутствие влияния на Y любых иных, кроме Х, факторов).

4. Если =0, то между признаками Х и Y нет корреляционной связи (равенство =0 имеет место только при =0, что означает независимость признака Y от фактора Х).

Если r=0, то между изучаемыми признаками нет линейной корреляции, что не исключает, однако, существования какого-либо другого вида корреляционной зависимости (параболической, показательной или др.).

5. Факт совпадения или несовпадения значений показателей и r используется для оценки формы связи: = r только при наличии прямолинейной связи. Несовпадение этих показателей означает, что связь между признаками криволинейная. Установлено, что если

, (15)

то зависимость признака Y от фактора Х можно считать прямолинейной.

Коэффициент Пирсона r может принимать значения из интервала [-1; +1]. Значение r = 0 означает отсутствие линейной связи между переменными х и у (но не исключает нелинейной статистической связи). Положительные значения коэффициента (r > 0) свидетельствуют о прямой линейной связи; чем ближе его значение к +1, тем сильнее связь статистическая прямая. Отрицательные значения коэффициента (r < 0) свидетельствуют об обратной линейной связи; чем ближе его значение к -1, тем сильнее обратная связь. Значения r = ±1 означают наличие полной линейной связи, прямой или обратной. В случае полной связи все точки с координатами (x_i, y_i) лежат на прямой y = a + bx.

Принято считать, что при абсолютном значении r < 0,25 — корреляция слабая, 0,25 < r < 0,75 — умеренная, при r > 0,75 — сильная. Сильная корреляция означает, что связь между переменными может быть близкой к линейной, но может быть явно нелинейной. В этом случае требуются дополнительные статистические исследования характера зависимости с применением процедур нелинейного оценивания, так как не имеется естественного обобщения коэффициента корреляции Пирсона на случай нелинейных зависимостей.

В однофакторных регрессионных моделях взаимосвязи социально-экономических явлений наиболее часто используются следующие типы математических функций, описывающих теоретическую линию регрессии и характеризующих механизм взаимодействия факторного и результативного признаков:

= a₀ + a₁x - линейная,

= a₀ + a₁ - гиперболическая,

= a₀ + a₁lgx - логарифмическая,

= a₀ - степенная, (8)

= a₀ + a₁x + а₂x² - параболическая,

= a₀ + - показательная.

Коэффициенты уравнений регрессии a₀, a₁, a₂, … называют параметрами связи.

Наиболее простой регрессионной моделью однофакторой корреляционной связи является линейная модель

(9)

изображаемая графически прямой линией. Модель отражает линейную взаимосвязь признаков X и Y, когда с возрастанием значений Х происходит непрерывное, более или менее равномерное возрастание или убывание средних значений Y (рис. 3).

Все прочие модели (8) отражают тот или иной вид нелинейной взаимосвязи признаков, когда изменение средних значений Y в зависимости от X происходит неравномерно (с ускорением, замедлением или изменением направления связи). В этих случаях сглаживающие теоретические линии регрессии представляют собой соответствующие нелинейные кривые – гиперболы, параболы 2-го порядка (как на рис.4) и др.

Разброс фактических значений y_i вокруг теоретических значений , рассчитанных по избранному для моделирования уравнению регрессии, обусловлен влиянием множества случайных факторов. Разности

(10)

называемые остаточными величинами (или остатками), оценивают отклонения расчетных значений от фактических значений y_i.

Следовательно, при построении регрессионной модели численные значения коэффициентов a_k выбранного типового уравнения регрессии (8) необходимо искать так, чтобы обеспечить наименьшие возможные остатки для всех случаев наблюдения (x_i, y_i).

Для этой цели используется метод наименьших квадратов (МНК), который позволяет рассчитать параметры a_k выбранного типового уравнения регрессии таким образом, чтобы теоретическая линия регрессии была бы в среднем наименее удалена от всех точек (x_i, y_i) по сравнению с любой другой теоретической линией регрессии, отвечающей выбранному типу функции связи (8).

Согласно МНК, задача поиска значений параметров a_k, минимизирующих сумму погрешностей (10), имеет вид

min (11)

и решается как задача на экстремум - путем приравнивания нулю первых частных производных функции S по каждому искомому параметру a_k уравнения регрессии. Это приводит к системе уравнений, называемой нормальной, решение которой дает численные значения параметров a_k, минимизирующие функцию S.

Таким образом, параметры связи a_k, в силу их расчета по МНК, являются усредненными по всей совокупности наблюдений (x_i, y_i). Они отражают взаимосвязь признаков X и Y только в общем итоге, по всей совокупности в целом (для каждой индивидуальной пары (x_i, y_i) значения a_k остаются неизвестными).

МНК