2.1.3. Задача использования мощностей (задача о загрузке оборудования).

Дано: Предприятию задан план производства продукции по времени и номенклатуре. Требуется за время Т на производственных линиях (станках) S1, S2, ...,Sm выпустить N1, N2,…, Nn еди­ниц продукции Р1, Р2, .., Рn . Для каждого станка известны производительность аij (т.е. число единиц продукции Pj, которое можно произвести на станке Si) и затраты bij на изготовление продукции Pj на станке Si в единицу времени. Необходимо составить такой план работы станков (эффективно распределить производство продукции между станками), чтобы затраты на производство всей продукции были наименьшими.

Комментарий: Представим условия задачи в табличном виде:

	Продукт P1	Продукт P2	…	Продукт Pn
Линия S1	b11 / a11	b12 / a12		b1n / a1n
Линия S2	b21 / a21	b22 / a22		b2n / a2n
…
Линия Sm	bm1 / am1	bm2 / am2		bmn / amn
Кол-во	N1	N2	…	Nn

В этой задаче многих запутывает выбор переменных.

Решение: Составим экономико-математическую модель задачи.

Обозначим x_ij - время, в течение которого станок S_i за­нят изготовлением продукции P_j

Так как время работы каждого станка ограничено и не превышает Т, то справедливы неравенства: (3.1)

Для выполнения плана по номенклатуре необходимо, чтобы выполнялись следующие равенства:

(3.2)

Кроме того xij>=0

Затраты на производство всей продукции выразятся функцией:

F= b11x11 + b12x12 +...+ bmnxmn

Экономико-математическая модель задачи: Найти такое решение X=(x11, x12,…, xmk) удовлетворяющее системам (3.1) и (3.2) и условию неотрицательности переменных, при ко­тором функция затрат принимает минимальное значение.

2.1.4. Задача о раскрое материалов (задача о распиле).

На раскрой (распил, обработку) поступает материал одного образца в количестве а единиц. Требуется изготовить из него l разных комплектующих изделий в количествах, пропорциональ­ных числам b1, b2, ...bl (условие комплектности). Каждая единица материала может быть раскроена п различными способами, при­чем использование j-го способа дает аjk единиц k-го изделия.

Необходимо найти план раскроя, обеспечивающий максимальное число комплектов.

Способ раскроя j	Число получаемых комплектов
	1	2	…	l
1 2 n	a11 а21 … аn1	a12 а22 … аn2	… … … …	a1l а2l … аnl

Обозначим xj — число единиц материала, раскраиваемых j-м способом, и x - число изготовляемых комплектов изделий.

Так как общее количество материала равно сумме его единиц, раскраиваемых различными способами, то

Требование комплектности выразится уравнениями

Очевидно, что xj>=0

Экономико-математическая модель задачи: найти такое реше­ние Х=(х1, x2,..., xп), удовлетворяющее системе уравнений и условию, при котором функция F= x принимает мак­симальное значение.

Для более общего случая:

Пусть каждая единица i-го материала может быть раскроена n различными способами, причем использование j-го способа дает аjik единиц k-го изделия, а запас i-го материала равен ai единиц.

Обозначим xji – число единиц i-го материала, раскрываемого j-м способом.

Экономико-математическая модель задачи о раскрое в общей постановке примет вид: найти такое решение X'= (х11, x12, ..., хпт), удовлетворяющее системе

и условию xji>=0,

при котором функция F = x принимает максимальное значение.