2.1.2. Задача о составлении рациона (задача о диете, задача о смесях).

Дано: Из существующих n видов ингредиентов (корма P1, P2,…, Pn ), содержащие питательные элементы Si (витамины S1, S2,…, Sm) требуется синтезировать новый продукт (рацион) с наименьшей стоимостью. При этом содержание питательных веществ в новом суточном рационе должно быть не менее bi соответственно по каждому виду. Известны содержания питательных элементов в единице j-го вида исходного ингредиента (корма) – aij и стоимость единицы i-го вида корма – cj.

Комментарий: Представим условия задачи в табличном виде:

Вид питательного вещества (витамина)	Требуемый минимум, ед	Состав питательных веществ в единице корма
		P1	P2	…	Pn
S1	b1	a11	a12	…	a1n
S2	b2	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…	…
Sm	bm	am1	am2	…	amn
Стоимость ед. корма, руб		c1	c2	…	cn

Как и предыдущая задача достаточно простая и популярная. Хотя в таблице по сравнению с предыдущей задачей изменилась только шапка, тем не менее, содержательная суть данной задачи совершенно другая.

Суть задачи и логика решения достаточно проста. Благодаря этому во многих источниках именно эта задача является очень популярной для объяснения принципов оптимизации. Порассуждаем над этой задачей с точки зрения менеджмента социально-экономической системы:

Во-первых, в результате решения данной задачи будет получена структура смеси с наименьшей стоимостью. Неважно как в итоге будет потребляться новый состав: либо как смесь всех кормов, либо как набор продуктов для потребления, далее будем называть новым рационом или продуктом. Рецепт нового рациона будет представлен в виде вектора, выражающего количество ингредиента (вес) по каждому виду, которые следует синтезировать, чтобы в целом себестоимость нового рациона или продукта оказалась минимальной. Обязательно нужно обратить внимание на цель задачи – минимальная стоимость нового продукта. Причем для получаемого продукта указаны требования по составу и количеству микроэлементов. Например, для получения новых биодобавок для похудения на основе сои, лактозы, пчелиного меда и др. исходных продуктов требуется определить оптимальное соотношение смеси. Было бы неправильным ограничивать эту задачу только сферой пищевой промышленности. Эффективное применение можно найти и в других областях, например, химического производства. Например, из различных компонент углеводородного сырья путем смешивания синтезируют новое сырье для переработки в автомобильный или авиационный бензин. Технологическим требованием для нового сырья является содержание октана и серы на 1 тонну сырья. В следующей главе будут приведены различные прикладные примеры интерпретации данной задачи.

Во-вторых, также как и в предыдущей задаче необходимо оценить актуальность решения и адекватность применения оптимизационных инструментов. К предыдущим комментариям добавим лишь пример неверной интерпретации актуальности и адекватности. Очень часто данная задача у слушателей ассоциируется с питанием студента: актуальность сводится к ограниченности финансов, адекватность – к малым вложениям для решения (интеллектуальный труд самого студента). При этом группой исходных кормов выбираются типичные для студенческого рациона продукты – картошка, макароны, мясо, хлеб и т.д. В результате полученного решения студент будет вынужден ежедневно потреблять в огромных количествах хлеб и макароны, при этом практический отказавшись от мяса и других более дорогих исходных продуктов. Абсурдность подобного решения не требует дальнейших комментариев. Рассмотрим другой пример: на птицефабрике требуется оптимизировать расходы на выращивание птицы. В себестоимости птицы существенным фактором является корма. Если удастся снизить стоимость корма для одной птицы в день на 1 рубль, не теряя при этом питательной ценности новой смеси, то простыми расчетами можно показать солидный итоговый оптимизационный эффект. Например, в Турбаслинской птицефабрике разводится 140 тыс. голов птиц. Если в результате оптимизации рационе на одну птицу экономия достигнет 10 копеек, то на фабрику она составить 14 000 руб. в день, в период поставки – 45 дней оптимизационный эффект достигнет 630 тыс. руб. Этой суммы может быть достаточным но проведение подобного исследования и организации процесса планирования поставок.

В-третьих, в условии этой задачи исходные компоненты P1, P2,…, Pn и содержащиеся в них элементы S1, S2,…, Sm опять же абстрагированы и обозначены перечислением³. В качестве элементов содержащихся в исходных кормах могут подразумеваться микроэлементы, витамины, поливитамины, минералы и другие химические соединения. Исходное сырье – некий конкретный продукт произведенный промышленностью, в сертификате качества, паспорте или лицензии которой обязательно приводятся производителем структура и количество элементов в единице продукции (обычно на 100 грамм). Отсутствующую информацию можно получить путем запроса производителю продукта. Ограничения, определяющие норматив суточного рациона, могут быть обусловлены различного рода исследованиями, компетентными источниками или технологическими требованиями. Например, в сфере сельского хозяйства известны нормативы сбалансированного питания птицы для наилучшего роста и привеса. Состав микроэлементов и их суточная норма могут отличаться для разведения птицы с целью получения яиц. Медицинские источники могут рекомендовать сбалансированный состав суточной диеты. Технология производства может накладывать ограничения на входное сырье по составу и концентрации различных соединений, например, при получении различных сплавов металлов.

Р ешение: Обозначим через xj – количество корма j-го вида включаемого в рацион. Упростив синтез новой продукции до линейной модели будем считать, что смешиваемые корма (ингредиенты) совместимы и в результате взаимодействия никаких синергетических эффектов не наблюдается. Это допущение условное, в каждой предметной области следует тщательно проверить и проконсультироваться со специалистами области⁴. Если условие выполняется, то посчитать количество микроэлемента S1 в новом рационе можно простой суммой произведений: . Таким образом, можем заложить такое условие в математической модели, которая ограничит множество решений, при которой будет меньше требуемой нормы b1. Экономико-математическую модель можно сформулировать следующим образом: найти такой рацион (пропорции новой смеси) X=(x1, x2, …, xn) удовлетворяющий системе ограничений 2.1.2, при которой функция

F= с1х1 + с2х2 +...+ сnхn, принимает минимальное значение.

Исходя из содержательного смысла, переменные не могут быть отрицательными значениями. Это условие так же включено в модель.